拟z极小集及其应用

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1、第22卷第4期2008年8月模糊系统与数学FuzzySystemsandMathematicsV01．22，No．4Aug．，2008文章编号：1001—7402(2008)04一0052一06拟Z一极小集及其应用’饶三平1，徐晓泉2(1．南昌工程学院理学系，江西南昌330099；2．江西师范大学数学系，江西南昌330027)摘要：定义了拟Z一极小集，并证明了拟z一连续Domain的每个元都有拟z一极小集，在拟Z一连续Domain中，给出了保拟Z一极小集映射的几个等价刻画，并且在此基础上，运用Rudin性质，得到了拟Z一连续Domain上的两个相应扩张定理。关键词：拟z～连续Do

2、main；拟z一极小集；Z—below关系；Rudin性质中图分类号：0153文献标识码：A1引言近三十年来，由于计算机科学所引起的关注和数学若干领域所取得的重要进展，计算机科学和数学的交叉之研究，特别是拓扑结构、格序结构、范畴结构等在计算机科学中的应用引起了人们的广泛关注[1吖]。20世纪70年代初，Scott、Plotkin、Hofmann、I。awson、Keimel等创建了连续格(Domain)理论。从此，Domain的结构理论成为计算机程序指称语义学研究的一个关键点。无论从数学的角度还是从计算机程序指称语义学的角度而言，Domain理论研究的一个重要方面是尽可能地将连续

3、格(Domain)理论推广到更为一般的格序结构上去。1977年，B．Hutton在完备格中引入了极小集概念H]，并证明了完全分配格的每个元都存在极小集。在文1-83中，王国俊教授详细地介绍了极小集及其应用。另一方面，由于对Domain理论研究的不断深入，徐晓泉教授在文[10]中引入了拟z一连续Domain，从而使Domain理论得到了进一步的发展。基于文[8]、文[10]，我们引入一种新的极小集——拟z一极小集，并证明了拟z一连续Domain的每个元都有拟Z一极小集，运用Rudin引理，同时给出了它的一些相关性质，及在拟Z一连续Domain中，保拟z一极小集映射的几个不同的等价刻

4、画，从而得到了拟z一连续Domain上的两个相应的扩张定理。2预备知识在本文中，Set表示集合范畴，Poset表示以所有偏序集为对象，保序映射为态射的范畴。对给定的范畴C，C的对象集记为Ob(C)。VP∈Ob(Poset)，z∈P，A量P，记、}X={Y∈P：Y≤z)，’}A=U{+a：口∈A)；对偶地定义·收稿日期：2006一Il一23基金项目：国家自然科学基金资助项目(10331010)；江西省自然科学基金资助项目(0411023)作者简介：饶三平(1981一)，男，江西永修人．硕士，格论，domain理论；徐晓泉(1961一)，男，江西乐平人，江西师范大学数学系教授，格论，

5、domain理论．第4期饶三平，徐晓泉：拟Z一极小集及其应用53十z，十A．记UpP={A∈P：A=千以)，尸K神一{F￡．P：F为有限的)，P一，2P一{十z：z∈P)，FinP={千A：A∈P‘<∽)。定义rain：FinP一27如下：VF∈FinP，min(F)={z∈F：z为F的极小元)。本文约定，对任意集族彳，(彳，2)总表示彳被赋予集反包含序所得的偏序集。彳称为下定向的，若VA，B∈彩，3C∈彳使得C￡AnB，即偏序集(∥，≥)是定向的。将UpP，PrinP和FinP看成偏序集时，总是指(UpP，2)，(PrinP，三)和(FinP，三)。定义2．1EzJ函子Z：Po

6、set—Set称为Poset上的一个子集系统，若Z满足下述条件：(1)V尸∈Ob(Poset)，Z(P)量2’；(2)VP，Q∈Ob(Poset)，保序映射厂：P—Q，以∈z(P)=>Z(厂)(A)一，(A)∈Z(Q)；(3)jP∈Oh(Poser)，使Z(P)含有P的非单点的非空子集。注：VP∈Ob(Poser)，有：(1)VP∈P，{P}∈Z(P)；(2)VQ∈P，Z(Q)互Z(P)；(3)Vz，Y∈P，z

7、集全体)。(3)矿(VP∈Ob(Poser)，髟(尸)为P的有限子集全体)。在以下的讨论中，z总表示Poset上的一个子集系统。V尸∈Oh(Poser)，称Z(P)为P上的一个子集系统。当将Z(尸)看作偏序集时，其上的偏序总是指集包含关系。P称为是Z—Domain。若P是Z完备的，即V5∈Z(尸)，VS存在。--Domain(即定向完备偏序集)简称为Domain。定义2．2r11]设z是一个子集系统。(1)Z称为并完备的，若VP∈Oh(Poser)，S∈Z(z(P))，有US∈z