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1、淺談形式化方法楊東屏使用電腦的人都會使用某種程序語言,學知識。例如古埃及人知道計算正方錐體體用它來編寫程序。電腦是不理解程序語言裡積的方法,古巴比侖人知道直角三角形斜邊各個符號的含意的,但是它可以根據程序裡長度的平方等於二直角邊長的平方和。但是不同符號的不同排列順序正確地執行編寫程他們也有些錯誤的結論,例如古埃及人認為序的人要求做的事情。這說明不含任何意義其邊長分別是a、b、c、d的四邊形面積公式是(a+b)(b+d)的不同符號的排列規律可以表達一定的數學;古巴比侖人認為圓周率π等於3。4規律。實際上連唸初中的學生都知道這個事在紀元前640到546生活在小亞細實,例如當他們由式子
2、:−(a+b−c)得到亞城市Miletus的Thales知道古埃及−a−b+c時腦子裡想的是:表達式裡的括弧人和古巴比侖人的數學知識不一定可靠,他前面若有負號且當人們要取消括弧時原括弧提出證明的概念,進而用邏輯驗證的辦法來內每個項前的正負號要改變,把正號變為負發展幾何學。經過若干人的努力到了公元前號,負號變為正號;而當括弧前面沒有負號時,三世紀有了歐幾理德的幾何原本。幾何原本可以只取消括弧而不對括弧內的符號做任何是用邏輯驗證的辦法發展出來的幾何學,但改動。這裡想的只是符號排列的變化規則而是人們也發現書中用的邏輯驗證方法的缺陷。不直接去想任何數學規則。同樣地,當他們把例如在「數學傳
3、播」第64期裡蕭文強先生x=y−z變為x+z=y時他們也只的文章裡提到的,由於根據錯誤的圖形而會是考慮符號排列的變化規則:移項時變該項產生錯誤的證明的例子。他的例子是可以“證前的正負號。這種用符號排列的規則去表達明”一切三角形是等腰三角形。因此像Leib-一定的數學內容的方法就是一種形式化方法。niz、Reimann、Gauss、Pasch都曾指出歐幾本文要著重介紹一下數理邏輯裡研究的有關理德幾何的證明有時有缺陷,即是有的證明形式語言的一些結果,希望藉此介紹一些關裡邏輯推演的根據不是公理或已經證明為真於形式化方法的知識。的定理,而是直觀的幾何圖形,這會推演出錯形式化方法是數學長期
4、發展過程中產生誤的結論。因此人們提出正確的幾何證明應的。古代的埃及人和巴比侖人都知道很多數該不以圖形為根據。為了排除對圖形的依賴12數學傳播十八卷一期民83年3月人們使用了形式化方法,用無任何直觀內容同樣的性質。即Euclidean幾何的真的抽象的符號表示幾何對象,用關於抽象符命題是否都可以在這公理系統裡可以證號的抽象的關係表示幾何關係,而這些對象明。和關係只滿足公理裡所陳述的邏輯關係。在4.範疇性(categoricity),即在同構意義下證明過程中只依賴於這種邏輯關係而不依賴是否某給定基數的模型(model)是唯於這些符號的直觀含意。這樣把幾何對象和一的?Hilbert證明E
5、uclidean幾何他們的直觀含意脫離開,防止了錯誤直觀的的範疇性。潛入,從而保證了數學推理的正確。這樣就開因此Hilbert建立了他的Enclidean始用形式化的方法去處理數學系統。Hilbert幾何系統後開始了一門全新的方向:元數學建立的歐幾理德幾何系統是這方面的典範。方向。1879年Frege在他的書Begriffss-上面提到Frege建立的謂詞演算系統可chrift裡給出了邏輯系統謂詞演算的形式系以作為建立各個數學系統的邏輯框架。但是統為形式化各種數學系統提供了邏輯框架。這點還應該加以證明。因為應該數學地論證Hilbert建立了他的幾何系統後,他開謂詞演算系統確實表達了
6、通常科學家們用的始了元數學(metamathematics)的研究,推演規則。1931年G¨odel在他的博士論文即以形式數學系統為對象的研究。他提出了裡證明了謂詞演算系統的完全性定理。加上如下的一些問題:協調性定理說明這形式系統恰好完全表達了1.獨立性(independence),即各個公理是科學家們用的邏輯推演規則,因此我們可以不是相對於其他公理是獨立的?即是不放心地把它作為各個數學系統的邏輯框架。是可以由其他公理推演出來。這問題是1902年6月Russell給Frege寫有意義的,例如在歷史上幾何學用了很了封信,在信裡提出了著名的Russell悖大的精力來討論平行公理是否可
7、由其他論(paradox),使當時的數學基礎問題動搖公理推演出來?了。當時人們想把各門數學建立在集合論之上。而當時人們的集合的概念就是滿足一定2.協調性(consistency),即這組公理系數學性質的所有元素組成的集體。這樣Rus-統是否是協調的?即是不是會推演出兩sell定義了一個集合X={x
8、x6∈x}。那麼個互相矛盾的命題來。Hilbert指出了由X∈X可以推演出X6∈X;由X6∈XEuclidean幾何的實數集上的模型。他可以推演出X∈X。這樣就出現了著名的把Eucli
