课件下载-弦线振动实验项目

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1、弦线振动实验项目一．基础知识1．弦振动方程的推导若横波在张紧的弦线上沿x轴正方向传播，我们取AB=ds的微分段加以讨论（图2）。设弦线的线密度（即单位长质量）为ρ，则此微分段弦线ds的质量为ρds。在A、B处受到左右邻段的张力分别为T、T，其方向为沿弦线的切线方向与x轴交成α、α角。1212由于弦线上传播的横波在x方向无振动，所以作用在微分段ds上的张力的x分量应该为零，即TTcosα−cosα=0(1)2211又根据牛顿第二定律，在y方向微分段的运动方程为：2dyTTdsinαα−=sinρs(2)22112dt对于小的振动，可取dsdx，而α、α都很小，所以cosα1，cosα

2、1，sinαtgα，121211⎛⎞dx⎛⎞dysinαtgα。又从导数的几何意义可知tgα=⎜⎟，tgα=⎜⎟，式（1）将成2212⎝⎠dyx⎝⎠dxx+dx为TT−=0，即TTT==表示张力不随时间和地点而变，为一定值。式（2）将成为21212⎛⎞dy⎛⎞dydyTTd⎜⎟−=⎜⎟ρx。(3)2⎝⎠dxxdx+⎝⎠dxxdt⎛⎞dy将⎜⎟按泰勒级数展开并略去二级微量，得⎝⎠dxx+dx2⎛⎞dy⎛⎞dy⎛⎞dy⎜⎟=+⎜⎟⎜⎟dx。2⎝⎠dxxdx+⎝⎠dxx⎝⎠dxx将此式代入式（3），得22⎛⎞dydyTd⎜⎟x=ρdx，22⎝⎠dxdtx即22dyTdy=。（4）22dt

3、ρdx2．弦振动的振型图1所示，两端固定且张紧的弦，在一点处受简谐干扰力作用的强迫振动问题可表示为下列波动方程的定解问题：22⎧∂∂yxt(,)2yxt(,)1⎪=+aq(,)xt22∂∂txρ⎪⎪⎨yy==0（1）xx==0l⎪⎪y==∂y0⎪t=0∂t⎩t=0T这里，a=为振动的传播速度，T为弦的张力，ρ为弦的线密度，ρqxt(,)=−qsinωtxdδ()为集中干扰力。0弦振动系统的固有频率和主振型可从式（1）qxt(,)0=所对应的齐次方程解出，iaπ固有频率：ω=（i=1,2,3L）（2)1nilixπ主振型：φ()sinx=（i=1,2,3L）（2)2il系统的受迫振动响应可

4、表示为各阶主振型的线性组合，即∞ixπyxt(,)=∑Hti()sin（3）i=1l其中Ht()（i=1,2,3L）称为主坐标，它表示系统各相应阶主振型对响应的贡献。将式i（3）代入式（1），根据数理方程的求解方法，可求得2qidπ1Ht()=0sin(ωsinωωωtt−sin)（4）iρωll()ω22−ωnininini由式（4）知当ω=ω（激励频率等于第i阶固有频率）时，第i阶主坐标Ht()将随nii时间t无限增大（利用洛比达法则判定），其余各阶主坐标Hts()(=1,2;L且si≠)为有限。s因此，（3）式可表示为∞ixπixπyxt(,)=∑Hti()sin≈Hti()sin

5、（5）i=1ll这表明发生第i阶共振时，其共振振型与第i阶主振型一致。据此，利用图2所示的单点稳态正弦激励装置，通过信号发生器对系统进行稳态正弦扫频，在激励频率等于各阶固有频率时，获得各阶主振型。系统的前三阶的主振型如图3所示。第一阶主振型xxππωϕ==,(x)sin，1ll第二阶主振型2xππ2xωϕ==,(x)sin，1ll第三阶主振型3xππ3xωϕ==,(x)sin，1图3ll思考题a．弦振动的固有频率与什么因素有关？b．如何从实验观察中判断振型的阶次？c．为什么利用稳态正弦激励可获得系统的各阶主振型？3．弦振动共振波形及相关物理量正弦波沿着拉紧的弦传播，根据以上内容，可用等式

6、(1)来描述。y=ysin2π(xλ−f⋅t)(1)1m如果弦的一端被固定，那么当波到达端点时会反射回来，这反射波可表示为：y=ysin2π(xλ−f⋅t)(2)2m在保证这些波的振幅不超过弦所能承受的最大振幅时，两束波叠加后的波方程为:y=y+y=ysin2π(xλ−f⋅t)+ysin2π(xλ−f⋅t)(3)12mm利用三角公式可求得：y=2ysin(2π⋅x/λ)cos(2π⋅f⋅t)(4)m等式的特点：当时间固定为t时，弦的形状是振幅为2ycos(2π⋅f⋅t)的正弦波形。在位0m0置固定为x时，弦作简谐振动，振幅为2ysin(2π⋅x/λ)。因此，当0m0x=1L,L3,L5L

7、……，振幅达到最大，当x=1L,L,3L……，振幅为0444022零。这种波形叫驻波。以上分析是假定驻波是由原波和反射波叠加而成的，实际上弦的两端都是被固定的，在驱动线圈的激励下，弦线受到一个交变磁场力的作用，会产生振动，形成横波。当波传到一端时都会发生反射，一般来说，不是所有增加的反射都是同相的，而且振幅都很小。当均匀弦线的两个固定端之间的距离等于弦线中横波的半波长的整数倍时，反射波就会同相，产生振幅很大的驻波，弦线会形成稳定的振