博师堂（国际）教育

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1、博师堂国际教育www.bostedu.com中级奥数教程分解质因数【知识要点和基本方法】1．质因数和分解质因数（1）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数（2）把一个合数用质因数相乘表示，叫做分解质因数，如把12分解质因数得12＝2×2×3＝22×3，这时并称2和3是12的质因数。（3）算术基本定理：任何大于1的整数都能表示成质数的乘积(4)如果把相同的质因数合并为它的幂，则任一大于1的整数N只能唯一地表成：N=p1r1.p1r2......pnrn.（其中质数p1

2、

3、因数分解式为：675＝33×52其中指数3时质因数3的个数，指数2时质因数5的个数，那么675的约数的个数12，恰好时各个质因数指数加1的和的乘积：（3+1）×（2+1）＝12（2）675的12个约数之和：1+3+5+9+15+25+27+45+75+135+225+675＝1240但由于675的质因数分解式为675＝33×52，那么675的所有约数之和与675的质因数3和5的方幂恰好有如下关系：1240＝（1+3+32+33）×（1+5+52）＝40×31＝1240我们再举一个例子，比如18000＝24×32

4、×53，不妨我们自己验证一下：（1）合数18000的所有约数的个数为：（4+1）×（2+1）×（3+1）＝60个（2）合数18000的所有约数和为：（1+2+22+23+24）×（1+3+32）×（1+5+52+53）＝31×13×156＝62868当然，这不是偶然的，我们可以总结出求一个合数的所有约数的个数和所有约数和有如下结论。定理若自然数N分解质因数的结果是：N=p1r1.p1r2......pnrn其中质数p1.p2.....pN为互补相同的质数，r1，r2。。。。。。，rn为正整数，分别是p1,，p2

5、。。。。。。，pn的指数，那么（1）N的约数个数是：（r1+1）×（r2+1）×.....×（rn+1）（2）N的所有约数的和是：（1+p1+p12+p13+....+p1r1）×（1+p2+p22+p23+....+p2r2）×....×（1+pn+pn2+pn3+....+pnrn）特别地，当N只有一个或若干个相同的质因数（即N=pr，p为质数，r为自然数）时，N的约数有r+1个，所有约数的和为：1+p+p2+p3+....+pr3、定理设合数N只能分解成n个不同质数的积，则有约数2n个简单归纳说明如下：设

6、p1，p2.....pN为n个互不相同的质数，于是：当N＝p1时，N有约数2个，1和p1；当N＝p1×p2时，N有约数4（即22）个，1，p1，p2和p1×p2当N＝p1×p2×p3时，N有约数8（即23）个，1，p1，p2，p3，p1p2，p1p3，p2p3，p1p2p3当N＝p1p2p3.....pn时，N有约数（即2n）个4、定理：如果一个数是某一质数的平方，那么这个数只有3个约数，反过来，如果一个数只有3个约数，那么这个数一定是某个质数的平方。举例说明如下：9（即32）的约数有3个分别是1，9和3；25

7、（即52）的约数为3个分别是1，25和5；49（即72）的约数为3个分别是1，49和7等等5、定理（1）如果一个数为一个完全平方数，那么这个数的约数个数一定是奇数；反之，如果一个数的约数个数是奇数，那么这个数一定是一个完全平方数（2）如果一个数不是完全平方数，那么这个数的约数个数一定是偶数；反过来，如果一个数的约数个数是偶数，那么这个数一定不是完全平方数。举例说明如下：3好成绩，好未来！【*石景山区中小学课外辅导第一品牌*古城路校区专用】博师堂国际教育www.bostedu.com完全平方数36＝62＝22×3

8、2，所以36的约数个数为（2+1）×（2+1）＝9，是奇数。非完全平方数50＝2×25＝2×52，所以50的约数个数为（1+1）×（2+1）＝6，是偶数。【例题精讲】例1有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？解我们先把5040分解质因数得：5040＝24×32×5×7再把这些质数凑成四个连续的自然数的乘积：24×32×5×7