数学物理方程13_王现版

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1、数学物理方程第十讲内积空间与函数空间李岩松清华大学物理系......Y.S.Li(清华大学物理系)第十讲内积空间与函数空间1/49内积空间与函数空间n维矢量空间.矢量空间.元素x;y;z;


(称为矢量)的集合称为实(复)矢量空间(线性空间)，如果下列公理成立：⃝1任给矢量x与y，有加法运算：即存在对应的矢量x+y，称为x与y之和，具有下列性质(a)x+y=y+x(b)x+(y+z)=(x+y)+z(c)存在唯一矢量0，使得对于每个x，x+0=x.(d)每个矢量x存在唯一矢量x，使得x+(x)=0......Y.S.Li(清华大学物理系)第十讲内积空间与函数空间2

2、/49内积空间与函数空间n维矢量空间.矢量空间.元素x;y;z;


(称为矢量)的集合称为实(复)矢量空间(线性空间)，如果下列公理成立：⃝2任给矢量x及实(复)数，有数乘运算，即存在对应的矢量x，使得(a)(x)=()x(b)(+)x=x+x.(c)(x+y)=x+y(d)1x=x......Y.S.Li(清华大学物理系)第十讲内积空间与函数空间2/49内积空间与函数空间内积把三维矢量空间中长度概念推广到n维矢量空间......Y.S.Li(清华大学物理系)第十讲内积空间与函数空间3/49内积空间与函数空间内积把三维矢量空间中长度概念推广到n维矢量空间为此，先定义n

3、维矢量的内积......Y.S.Li(清华大学物理系)第十讲内积空间与函数空间3/49内积空间与函数空间内积把三维矢量空间中长度概念推广到n维矢量空间为此，先定义n维矢量的内积设在数域K上定义了n维矢量空间V，它的元素(矢量)用x;y,


表示......Y.S.Li(清华大学物理系)第十讲内积空间与函数空间3/49内积空间与函数空间实n维矢量空间中的内积实n维矢量空间(即K为实数域)，在选定一组基fei,i=1;2;


;ng之后，空间中的矢量x都可以用它在这一组基上的投影(坐标)x1;x2;


;xn表示∑nx=x1e1+x2e2+


+xnen=xieii

4、=1......Y.S.Li(清华大学物理系)第十讲内积空间与函数空间4/49内积空间与函数空间实n维矢量空间中的内积实n维矢量空间(即K为实数域)，在选定一组基fei,i=1;2;


;ng之后，空间中的矢量x都可以用它在这一组基上的投影(坐标)x1;x2;


;xn表示∑nx=x1e1+x2e2+


+xnen=xieii=1.Definition(实矢量空间的内积).对于空间中的矢量x和y，最常见的内积定义∑n(x;y)=x1y1+x2y2+


+xnyn=xiyi.i=1......Y.S.Li(清华大学物理系)第十讲内积空间与函数空间4/49内积空间与函

5、数空间实n维矢量空间中的内积.Definition(实矢量空间的内积).对于空间中的矢量x和y，最常见的内积定义∑n(x;y)=x1y1+x2y2+


+xnyn=xiyi.i=1......Y.S.Li(清华大学物理系)第十讲内积空间与函数空间5/49内积空间与函数空间实n维矢量空间中的内积.Definition(实矢量空间的内积).对于空间中的矢量x和y，最常见的内积定义∑n(x;y)=x1y1+x2y2+


+xnyn=xiyi.i=1(x;y)是一个实数......Y.S.Li(清华大学物理系)第十讲内积空间与函数空间5/49内积空间与函数空间实n维矢量空间中的

6、内积.Definition(实矢量空间的内积).对于空间中的矢量x和y，最常见的内积定义∑n(x;y)=x1y1+x2y2+


+xnyn=xiyi.i=1(x;y)是一个实数(x;y)=(y;x)(x;x)0......Y.S.Li(清华大学物理系)第十讲内积空间与函数空间5/49内积空间与函数空间实n维矢量空间中的内积.Definition(实矢量空间的内积).对于空间中的矢量x和y，最常见的内积定义∑n(x;y)=x1y1+x2y2+


+xnyn=xiyi.i=1(x;y)是一个实数(x;y)=(y;x)(x;x)0当且仅当x=0时，才有(x;x)=0...

7、...Y.S.Li(清华大学物理系)第十讲内积空间与函数空间5/49内积空间与函数空间实n维矢量空间中的内积.Definition(实矢量空间的内积).对于空间中的矢量x和y，最常见的内积定义∑n(x;y)=x1y1+x2y2+


+xnyn=xiyi.i=1(x;y)是一个实数(x;y)=(y;x)(x;x)0当且仅当x=0时，才有(x;x)=0......Y.S.Li(清华大学物理系)第十讲内积空间与函数空间5/49内积空间与函数空间实n维矢量空间中的内积.Definition(实矢量空间的内积).对于空间中的矢量x和y，最常见的内积