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1、利用微分方程求解单元刚度矩阵甘荣飞1,2，曹文龙1，孙靖立1（1吉林建筑大学城建学院吉林长春130111，2内蒙古工业大学内蒙古呼和浩特010051）UsingDifferentialEquationMethodtoSolvetheElementStiffnessMatrixGanRong-feia,bCaoWen-longaSunJing-lia(aTheCityCollegeofJinlinJIANZHUUniversity,Changchun130111,China;bInnerMongoliaUniversit
2、yofTechnology,Hohhot010051,China)摘要：求解单元刚度矩阵是有限元求解问题的必要的过程，通常采用虚位移原理或是最小势能原理进行求解。本文将以一维的拉（压）杆为例采用求解微分方程的方法推导其单元刚度矩阵。根据其原理也可推广到其他形式单元中求解单元刚度矩阵。Abstract:It’snecessaryprocessforthefiniteelementsolutiontosolvetheelementstiffnessmatrix,whichissolvedbytheprincipleofvi
3、rtualdisplacementandtheprincipleofminimumpotentialenergy.Thepapertakestheone-dimensionalpullbar(pressure)tosolveitselementstiffnessmatrixbythedifferentialequationmethod.Themethodcanbealsoappliedtosolveotherformsoftheelementstiffnessmatrix.关键字：单元刚度矩阵；微分方程；有限元中图分类
4、号：O122文献标识码：AKeyword：TheElementStiffnessMatrix;DifferentialEquation;theFiniteElement1引言利用有限元方法对结构进行分析，是将结构进行离散化，形成一系列的单元集合，这些单元在节点与相邻单元连接在一起，要确定整个结构的特性，必须先确定个别单元的的特性。通常根据虚位移原理或是最小势能原理来推导得到单元刚度矩阵，单元刚度矩阵是将单元节点位移和单元节点力、单元等效节点荷载联系起来的联系矩阵，是利用有限元求解问题的必要过程。本文将介绍除了根据虚位移
5、原理和最小势能原理推导单元刚度矩阵之外，也可以由求解微分方程来推导单元的刚度矩阵。2由微分方程推导单元刚度矩阵按单元的应力-位移的微分关系，建立关于位移函数的微分方程，在一定的边界条件下求解，即可得到单元节点力-位移的关系式。12n1F'1F'2u1u2=0xa.端点2固定12n2F''1n2F''2u1=0u2xb.端点1固定图1轴力-位移关系以图1的一维的杆件单元为例，设单元内的位移分布为u=u(x)，有几何方程可知∂uε=（1）∂x根据本构关系得∂uσ=Eε=E（2）∂x若假定没有体力作用，那么平衡方程可表示为2
6、∂σ∂u=E=0（3）2∂x∂x现将端点2固定，在端点1施加位移u，在正方向与坐标一致，如图1.a所1示，其几何边界条件为x=0,u=u1（4）x=l,u=u=02对几何方程即（3）式进行两次积分可得u=cxc+（5）12利用几何边界条件解得cux21c=−=−,u=u(1−)11lll（6）∂uuEu11ε==−,σ=−∂xll由于边界的1,2的外法线n，n的方向余弦分别为12l=cos(,)nx=−1,l=cos(,)1nx=（7）1122由边界条件可的''FEuFEu1121σl==,σl==−（8）x1x2Al
7、Al或'EAu1'EAu1F=,F=−（9）12ll同理，将1端固定，在端点2施加位移u，此时几何边界条件为2x=0,u=u=01（10）x=l,u=u2于是可解的边界上力''EAu2''EAu2F=−,F=（11）12ll因此，根据叠加原理，在端点1,2处同时施加位移u，u，那么相应的边界12应力为'''EAu1EAu2F=F+F=−111ll（12）'''EAu1EAu2F=F+F=−+222ll将其表示成矩阵形式为⎡F⎤EA⎡1−1⎤⎡u⎤11⎢⎥=⎢⎥⎢⎥（13）⎣F⎦l⎣−11⎦⎣u⎦22记为F=Κd（14）
8、其中：EA⎡1−1⎤Κ=⎢⎥（15）l⎣−11⎦（15）式即为拉（压）杆单元刚度矩阵。3总结我们以最简单的一维杆件为例，介绍了利用微分方程求解单元刚度矩阵的可行性及方法。相对于虚位移原理和最小势能原理而言，利用微分方程求解单元刚度矩阵更浅显易懂，容易理解。此外，根据现在大学生的课程培养方案来看，虚位移原理和最小势能原理不容易被学生
