预加范畴表示理论及其应用

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1、福建师范大学周振强硕士学位论文．摘要B．Mitchell于1972年在数学杂志Advances统Mathematics发表了题为{RingswithSeveralObjects)》的长篇论文．受该文启发，本硕士学位论文共分三章，主要致力于丰富和发展预加范畴的表示理论．第一章主要介绍本学位论文相关的研究背景以及全文的构架．第二章致力于对预加小范畴的表示范畴的recollement情形的存在性问题与预加小范畴的表示范畴的Morita等价问题的研究．给出了判断预加小范畴的表示范畴的recoUement情形的存在性的充分必要条件，我们称之为预加小范畴的表示范畴的KSnig定理．与此同时

2、，预加小范畴的表示范畴的Morita定理亦于本章给出．随后，我们将这两个结果应用至模范畴与分次模范畴，得到这两个范畴关于recollement存在性问题与Morita等价问题的相应刻画．就分次模范畴而言，我们给出了建立Morita定理的新方法，得到分次模范畴的KSnig定理，推广了多篇已发表的论文所给出的分次模范畴的Morita等价定理的相关结果．第三章以函子的角度展开对预加范畴的Morita等价问题的研究．为了寻求最一般的刻画，在本章的第一节，我们将焦点置于函子范畴recoHement的构造问题．对于给定的两组预加范畴的左(右)pre-recollement，运用Godeme

3、nt积这一工具，我们建立了给定的两组预加范畴构成的函子范畴的左(右)pre-recollement．作为该结果的一个应用，我们将证明由给定的预加小范畴的recollement，可以自然地诱导出其上的表示范畴的recollement．结合第二节关于可表函子的结果，在第三节，我们给出了预加小范畴由其间的加法函子而诱导的Morita等价的四个新的刻画．关键词：预加范畴Abel范畴KSnig定理Morita定理Godement积tea-ollement函子范畴可表函子．I福建师范入学周振强硕士学位论文AbstractEnlightenbyB．Mitchell’Slongpaper—Ri

4、ngswithSeveralObjects，whichpublishedinAdvancesinMathematicsforawholeissuerthisdissertation，whichisdividedintothreeparts，istodeveloptherepresentationtheoryofpre-additivecategories．Thefirstchapterpresentsthebackgroundaswellasthestructureofthisdis-sertation．Chaptertwoisdevotedtothestudyoftheexi

5、stenceofrecollementsituationsofrepresentationcategoriesofsmallpre-additivecategoriesandtheMoritaequiv-alences．Acriterionfortheexistenceofrecollementsituationsofrepresentationcategoriesofsmallpre-additivecategoriesisputforward，whichentitledastheKSnigtheoremforrepresentationcategoriesofsmallpr

6、e-additivecategories’andaMoritatheoremoftherepresentationcategoriesofsmallpre-additivecategories’Sversionisalsogiveninthispart．Afterthat，wewillapplythesetwomaintheo-reinsto(graded)modulecategoriesandobtainrelatedrecoUementsandMoritaequivalences’results．Astothegradedmodulecategories，wegiveane

7、wmethodtoconstructtheMoritatheorem，andtheKSnigtheoremforgradedmodulecategorieshasgeneralizedtherelatedresultsofmanypapers，whichwereaimedatdealingwithMoritaequivalences．ChapterthreestudiestheMoritaequivalencebyinvestigatethefunctorsbe-tweenpre-addit