蒋玉龙教授-半导体物理ppt-4

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1、2.3自由电子费米气体112.3.3三维情况下的自由电子气kz22h2h222rεε=k=(k+k+k)Fkxyzk2m2my32π4π2nπ⎛2π⎞kx,ky,kz=;0±;±;...;±⎜⎟LLLk⎝L⎠kFx－三维情况下N个电子处在基态时，每个被占据轨道可以表示为k空间中一个球内的点h22ε=k－球面的能量为费米能，费米面上波矢的大FF2m小是kF－波矢分量k，k，k量子化的结果是：k空间中的每个最小允许体xyz积元是(2π/L)3，即这个体积中只存在一个允许波矢（电子态），由一组三重量子数k，

2、k，k决定。xyz2.3自由电子费米气体122.3.3三维情况下的自由电子气kz－k空间中每个允许的波矢，对应自旋相反ε的两个电子，但二者的能量相同Fky－在费米球内，存在的电子（轨道）总数是3⎛2π⎞3⎜⎟⎛⎜43⎛2π⎞⎞⎟V3k⎝L⎠2×πkF÷⎜⎟=kF=NkxF⎜3L⎟32⎝⎝⎠⎠π12232⎛32N⎞3⎛3πN⎞hπ费米能和电子浓kF=⎜⎜⎟⎟εF=⎜⎜⎟⎟度N/V联系起来⎝V⎠2m⎝V⎠仅仅依赖于粒子浓度2.3自由电子费米气体132.3.3三维情况下的自由电子气kz－k空间中球状等能面情

3、况下的能态密度推导εF－能量<=ε下，包含的轨道总数N表示为ky33lnN=lnε+Const.23V⎛2mε⎞2dN3dε⎛2π⎞N=⎜⎟=⋅⎜⎟32h2N2ε⎝L⎠π⎝⎠dN3NkFD(ε)==kxdε2ε－能态密度定义为单位能量间隔内的轨道数目1T=0K2D(ε)ε31dNV⎛2m⎞2D2(ε)==⋅⎜⎟⋅ε22T>0Kdε2π⎝h⎠εFε2.3自由电子费米气体14•练习：两维和一维情况下的能态密度第二章固体物理导论2.1晶体结构2.2晶体衍射和倒易点阵2.3自由电子费米气体2.4能带2.5半导

4、体晶体2.4能带1金属的自由电子模型是我们对金属的热容、热导率、电导率等有了很好的了解，但是对于其他的大问题，这个模型就无能为力了：例如金属、半金属、半导体和绝缘体之间的区别，正值霍尔系数的出现，以及许多细致的输运性质。为了理解绝缘体和导体之间的差别，必须将自由电子模型加以扩充，需要考虑固体周期性点阵的作用，因此需要在描述电子运动的薛定谔方程中考虑一个周期性势场的作用。这样做的一个重要结果是：能隙（禁带）的出现！2.4能带22.4.1近自由电子模型－自由电子模型的回顾kz22h2h222rεε=k=(

5、k+k+k)Fkxyzk2m2my32π4π2nπ⎛2π⎞kx,ky,kz=;0±;±;...;±⎜⎟LLLk⎝L⎠kFrrrxψr(r)=exp(ik⋅r)k近自由电子模型：把能带电子－允许能值自零分布至无限看作是仅仅受到离子实的周期性势场微扰。－波函数是个行波2.4能带32.4.1近自由电子模型－以一维点阵常数为a的线形固体来了解近自由电子模型xaaaaaG4π2π2π4π‥‥‥−−0‥‥‥aaaaG2πππ2π第一布里渊区−−aaaa－近自由电子模型：考虑了周期性势场，就要考虑电子波在周期性势场

6、中可能发生的布喇格衍射！rr22－波矢为k的电子波的布喇格衍射条件是：(k+G)=knπ－一维情况简化为k=±(n：0和正整数)a2.4能带42.4.1近自由电子模型xaaaaaG2πππ2π第一布里渊区−−aaaa－当电子波矢为±π/a时，描述电子的波函数不再是行波，而是驻波（反复布喇格反射的结果）－两种形式的驻波：由向左、向右进行的两个行波等量构成ππix−ixπ(+)=ea+ea=2cos(x)()−x→x,→ψψψaππix−ixπaa()ψ(−)=e−e=2isin(x)−x→x,ψ→−ψa

7、2.4能带52.4.2能隙的起因ππππix−ixix−ixππaaaaψ(+)=e+e=2cos(x;)ψ(−)=e−e=2isin(x)aa－两个驻波使电子聚积在不同的空间区域内，因此考虑到离子实的排列，这两个波将具有不同的势能值。这就是能隙的起因。－一个粒子的几率密度为ρ=

8、ψ

9、2。对于纯粹行波eikx,ρ=eikx⋅e-ikx=1，因此电荷密度为恒量。－对于平面波的线性组合，电荷密度却不是恒量22ρ(+)=ψ(+)∝cos(πx/a)负电荷聚积在中心在x=0,a,2a,…的正离子上22ρ(−)

10、=ψ(−)∝sin(πx/a)负电荷聚积在相邻离子实的连线中点上2.4能带62.4.2能隙的起因U，势能离子实ax22ρ(+)=ψ(+)∝cos(πx/a)2222ρ，几率密度ψ(−)ψ(+)ρ(−)=ψ(−)∝sin(πx/a)行波xa－电子在正离子场内的势能是负的。－可以预期三种电荷分布的势能关系：U(+)