完全交和加权完全交拓扑

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1、摘要1986年在美国加州Arcta举行的代数拓扑会议上，与会者讨论了代数拓扑学的一些前沿有待解决的问题([12，page438-456])．其中数学家M．Kreck，A．Libgober，J．Wood提出这样一个问题：完全交K(d)的微分同胚型是否由下列的量来决定：维数，全次数，相交型，Arf不变量，Stiefel-Whitney类，Pontrjagin类．完全交％(d)：=‰(dl⋯．，西)是复射影空间Clip“打中7．个横截相交的齐次多项式的零点的轨迹，dl⋯．，西是r个齐次多项式的次数．d=(d1⋯．，西)称为多重次数，积d=dl⋯

2、cfr称为全次数，％(d)是一个礼维复流形．相交型和心f不变量(Kervaire不变量)由全次数来决定，示性类都可以写成多重次数的多项式([301)，所以试图用一些拓扑的量来分类完全交，这是一个有趣的问题，但这也是一个很棘手的问题．关于这方面的文献有很多，参见[6，18，19，35，38，39，40，54l等．其中大部分结果都是在对全次数的素数分解做了一定限制条件后得到的．Kreck([35])引入了一个修正的手术理论，将光滑流形的微分同胚分类问题归结到配边不变量上．ClaudiaTracing([54】)按照这个理论得到了一些完全交的微

3、分同胚分类的结果，这个结果的条件要求完全交的全次数含有较多的小素数因子．不对全次数的素数分解加以限制，方复全和StephanKlauss对于复4维的光滑完全交进行了彻底的同胚分类(cf．【19】)．本文的第二部分，我们主要应用Kreck的修正手术理论来给出复5，6，7维光滑完全交的一个同胚分类，此结果推广了【19】．定理A．当复维数他=5，6，7，两个完全交五。(d)，％(d，)同胚当且仅当他们具有相同的全次数d，Pontrjagin类和Euler示性类．如同f19，35]，证明上定理的关键是将同胚分类问题转化为配边问题，所以关于配边群的

4、计算是必要的．根据Pontrjagin-Thom构造，此配边群同构于Thorn谱的稳定同伦群．Adams谱序列是计算稳定同伦祥的有力工具．构造Adams谱序列，必须知道谱序列的易项，我们利用代数Atiyah-Hirzebruch谱序列(简记为AAHSS)和极小自由分解来计算Adams谱序列易项．由Adams谱序列得到稳定同伦群后，通过比较Atiyah-Hirzebruch谱序列和Adams谱序列，我们可以对此配边群中的挠元和自由元进行分析．排除挠元对分类所可能产生的障碍，最终完成我们定理的证明．加权射影空间舻押(w)：=妒押(蛐⋯．，‰+

5、r)和加权完全交五；(d；W)：=％(dl⋯．，dr；蜘⋯．，‰押)(简记为WCI)是普通的复射影空间，完全交的一种推Ⅱ摘要广．加权射影空间是复射影空间通过加权作用得到的商空间．当这个加权作用平凡，也就是说权w=(1⋯．，1)，加权射影空间就是普通的射影空间，加权完全交也就是普通的完全交．p+r(w)是复(n+r)维的迹形(orbifold)，如果权w=(‰⋯．，‰+r)相对互素，即对于任何i≠歹，最大公因子gcd(wi，％)=1，乘积n％整除全次数d：=l-I；：1呜，则加权完全交％(d；w)是复佗维的光滑流形．在本文的第三部分，我们讨

6、论光滑加权完全交的同伦型．与完全交不同，经典的Lefschetz截面定理此时不可用，对加权完全交的拓扑知之甚少．首先我们将给出加权完全交嵌入到加权射影空间的相对拓扑．命题B．如果权W=(0-70⋯．，03n+r)相对互素，则内射i：％(d；w)一p+r(w)是n等价，即当七

7、[39】)，我们可以证明如下的定理．定理C．设T／,=2m+l，如果全次数d=dl⋯西没有小于m+2的素数因子，W相对互素，则光滑加权完全交．k(d；w)的同伦型由n，d和Euler示性类，Kervaire不变量所决定．加权射影空间的复K群由Amrani([4])计算．作为一个完备补充，我们对加权射影空间的实K群也傲一个描述．命题D．如果权w=(uo⋯．，‰)是奇的，即蛐⋯．，‰都是奇数，则加权射影空间的实K群Ⅳ0(p(w))可以分解成一些整数群Z和挠群Z2的直和，并且如果佗≠1mod4，KD(舻(w))是自由群；如果n=1mod4，KD

8、(p(w))有一个Z2挠群的直和项．在本文的第四部分，我们将考虑定义在同一个加权超曲面中的两个光滑加权完全交的微分同胚型．此时应用Kreck的修正手术理论，我们需要建立—个法m一1)光滑型，由