大学数学竞赛题选(4)

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1、首届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案（数学类，2010）一、填空题+∞ee−αx2−−βx2（1）设β>>α0，则dx=π()βα−.∫0x2123（2）若关于x的方程kx+=>1(k0)在区间(0,+∞)中有惟一实数解，则常数k=.2x9x（3）设函数f()x在区间[,]ab上连续.由积分中值公式有∫f()tdt=−(xaf)()ξ()ax≤≤<ξb.aξ−a1若导数f′()a存在且非零，则lim的值等于.++xa→x−a2GGGGGGGGG（4）设()6abc×=i，则[(abbcac+×+)()](i+)=___12________.n'⎛⎞kf(0)二、设f()x在(1

2、,1)−内有定义，在x=0处可导，且f(0)=0.证明：lim∑f⎜⎟2=.n→∞k=1⎝⎠n2'证：根据题目假设和泰劳展开式，我们有f()xffxx=++(0)(0)α(),x其中α()x是x的函数，α(0)=0,且α()0,xx→→当0。因此，对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得α()xx<εδ,只要<。⎛⎞kk'⎛⎞kk对于任意自然数n和kn≤，我们总有ff⎜⎟=+(0)α⎜⎟。2222⎝⎠nn⎝⎠nn−1取N>δ，对于上述给定的ε>0，便有⎛⎞kαε⎜⎟<>,,只要nNkn≤。2⎝⎠nnnn⎛⎞kk'k于是，∑∑f⎜⎟22−≤fn(0)ε∑2,只要>N。kk==11⎝⎠

3、nnk=1nn⎛⎞k111'ε此式又可写成∑f⎜⎟2−+fn(0)(1)≤(1+>),只要N。k=1⎝⎠nn22n令n→∞，对上式取极限即得第1页（共8页）nn⎛⎞k1'ε⎛⎞k1'εlimsup∑ff⎜⎟2≤+(0)和liminf∑ff⎜⎟2≥−(0)n→∞k=1⎝⎠n22n→∞k=1⎝⎠n22nn⎛⎞kk⎛⎞1'由ε的任意性，即得limsup∑∑ff⎜⎟22==liminf⎜⎟f(0)。证毕。nn→∞kk==11⎝⎠nn→∞⎝⎠2三、设f()x在[0,)∞上一致连续，且对于固定的x∈[0,)∞，当自然数n→∞时fxn()0+→.证明函数序列{(fxnn+=):1,2,...}

4、在[0,1]上一致收敛于0.证：由于f()x在[0,+∞)上一致连续，故对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0使得εfx()()−fx<−,只要xx<δ(x≥0,x≥0)1212122−1取一个充分大的自然数m，使得m>δ，并在[0,1]中取m个点:xxx=0<<<=...1，12mj其中x==(jm1,2,...,)。这样，对于每一个j，jm1xx−=<δ。jj+1m又由于lim(fxn+=)0，故对于每一个x，存在一个N使得jjn→∞εf(),xn+<>只要nN，jj2这里的ε是前面给定的。令NN=max{,...,N}，那么1mεf(),xn+<>只要nN，j2其中j=1,2

5、,...,m。设x∈[0,1]是任意一点，这时总有一个x使得x∈[,]xx。jjj+1由f()x在[0,+∞)上一致连续性及xx−<δ可知，jεfxnfxn(+−+<∀=)()(n1,2,...)j2另一方面，我们已经知道εf(),xn+<>只要nNj2这样，由后面证得的两个式子就得到第2页（共8页）fxn(),+<ε只要nNx>∈,[0,1]注意到这里的N的选取与点x无关，这就证实了函数序列{(fxnn+):=1,2,...}在[0,1]上一致收敛于0。22四、设Dx=+{(,):yxy<1}，f(,)xy在D内连续，gxy(,)在D内连续有界，且满足条件：（1）2222∂∂f

6、ff当xy+→1时，fxy(,)→+∞；（2）在D内f与g有二阶偏导数，+=e和22∂∂xy22∂∂ggg+≥e.证明：f(,)xygxy≥(,)在D内处处成立.22∂∂xy证：用反证法。假定该不等式在某一点不成立，我们将导出矛盾。22令Fxy(,)=−fxygxy(,)(,).那么，根据题目假设，当xy+→1时，Fxy(,)→+∞.这样，Fxy(,)在D内必然有最小值。设最小值在(,)xyD∈达到。00根据反证法假设，我们有Fxy(,)(,)(,)0=−

7、2∂∂其中Δ是拉普拉斯算子：Δ≡+.22∂∂xy式子（ii）在D中处处成立，特别地在(,)xy成立：00Δ=FfgeeΔ−Δ≤−f(,)xy00gxy(,)00.(iii)(,)xy00(,)xy00(,)xy00由(i)与(iii)可知，Δ

8、000xx00yy(,)xy00这与（iv）矛盾。此矛盾证明了题目中的结论成立。证毕。五、分别设Rx=≤{(,):0yx≤1