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1、首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答（数学类，2009）考试形式：闭卷考试时间：120分钟满分：100分.题号一二三四五六七总分专业：满分15201510101515100得分注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效.2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.线年级：得分一、（15分）求经过三平行直线Lxyz1:==，评阅人Lx:1−==+yz1，Lxy:11=+=−z的圆柱面的方程.23封解：先求圆柱面的轴L的方程.由已知条件易知，圆柱面母线的方向是0ddn=(1,
2、1,1)，且圆柱面经过点O(0,0,0)，过点O(0,0,0)且垂直于n=(1,1,1)的平所在院校：密面π的方程为：xyz++=0.……………………………（3分)π与三已知直线的交点分别为OPQ(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1)−−…………（5分)圆柱面的轴L是到这三点等距离的点的轨迹，即0222222⎪⎧xyzx++=−+++(1)yz(1)⎨，222222⎪⎩xyzxy++=+++−(1)(1z)身份证号：即⎧xz−=1⎨，……………………………………………（9分)⎩yz−=−1将L的方
3、程改为标准方程0x−11=+=yz.姓名：圆柱面的半径即为平行直线x=yz=和x−11=+=yz之间的距离.P(1,1,0)−0第1页（共6页）为L上的点.……………………………………………………………….（12分)0dgggddgggd
4、
5、nPS××
6、
7、nPOdd00，即对圆柱面上任意一点Sxyz(,,)，有=
8、
9、nn
10、
11、222(1−+−+−−+−++=yz)(1xz)(2xy)6，所以，所求圆柱面的方程为：222xyzx++−−−−+=yxzyzxy330.……………….（15分)nn×得分二、（20
12、分）设C是nn×复矩阵全体在通常的运算下所构成⎛⎞00@0−a评阅人n⎜⎟10@0−a⎜⎟n−1的复数域C上的线性空间，F=⎜⎟01@0−a.n−2⎜⎟⎜⎟@@@@@⎜⎟⎝⎠00@1−a1⎛⎞aa1112?a1n⎜⎟aa?a（1）假设A=⎜⎟21222n，若AFF=A，证明：⎜⎟????⎜⎟⎜⎟aa?a⎝⎠nn12nnnn−−12AaF=++aF?+aFaE+；nn11−12111nn×nn×（2）求C的子空间CF()=∈{XC
13、FXXF=}的维数.nn−−12（1）的证明:记A=(,,,)ααα?，M=
14、++aFaF?+aFaE+.要证明12nnn11−12111M=A，只需证明A与M的各个列向量对应相等即可.若以e记第i个基本单位列向i量.于是，只需证明：对每个i，Me=Ae()=α.………………………（2分)iiiT若记β=−−(,,,)aa?−a，则Feee=(,,,,)?β.注意到，nn−1123n21nn−−2Fe==eFe,,Fe=e?,Fe=FF(e)==Fee（*）…..（6分)1212311nn−1由nn−−12Mea=++()FaF?+aFa+Ee1nn1−1121111nn−−12=
15、aFeaFe++?+aFeaE+enn111−11211111=aeae++?+aeae+nn11n−−1n1212111=α=Ae...............................................(10分）11知Me=====MFeFMeFAeAFeAe211112第2页（共6页）2222MeM=====FeFMeFAeAFeAe311113?????nn−−11n−1n−1Me=====MFeFMeFAeAFeAen1111n所以，M=A.…………………………..（14分)
16、21n−（2）解：由（1），CF()=spanEFF{,,,,?F}，…………（16分)21n−设xExFxF+++?+xF=O，等式两边同右乘e，利用（*）得专业：012n−1121n−θ==++++Oe()xExFxF?xFe1012n−1121n−=+++xEexFexFe?+xFe011121n−11=++++xexexe?xe.........................(18分）011223nn−1因eee123,,,,?en线性无关，故，xxx012=====?xn−10…………（19分
17、)线21n−21n−所以，EFF,,,,?F线性无关.因此，EFF,,,,?F是CF()的基，特别地，年级：dim()CF=n.……………………………（20分)封得分三、（15分）假设V是复数域C上n维线性空间（n>0），f,g评阅人是V上的线性变换.如果fggff−=，证明：f的特征值都是0，且f,g有公共特征向量.所在院校：密证明：假设λ是f的特征值，W是相应的特征子空间，即0WV=∈{η
18、()fηλ=0η}.于是，W在f
