《现代控制理论》课后习题 答案

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1、《现代控制理论》第5章习题解答5.1已知系统的状态空间模型为x"=Ax+Bu,y=Cx，画出加入状态反馈后的系统结构图，写出其状态空间表达式。答：具有状态反馈uK=−x+v的闭环系统状态空间模型为：x"=()ABKxBv−+yC=x相应的闭环系统结构图为vuxyBCAK闭环系统结构图5.2画出状态反馈和输出反馈的结构图，并写出状态反馈和输出反馈的闭环系统状态空间模型。答：具有状态反馈uK=−x+v的闭环系统状态空间模型为x"=()ABKxBv−+yC=x相应的反馈控制系统结构图为vuxyBCAK具有输出反馈uF=−y+v的

2、闭环系统状态空间模型为x"=()ABFCxBv−+yC=x相应的反馈控制系统结构图为vuxyBCAF5.3状态反馈对系统的能控性和能观性有什么影响？输出反馈对系统能控性和能观性的影响如何？答：状态反馈不改变系统的能控性，但不一定能保持系统的能观性。输出反馈不改变系统的能控性和能观性。5.4通过检验能控性矩阵是否满秩的方法证明定理5.1.1。答：加入状态反馈后得到闭环系统S，其状态空间模型为Kx"=()ABKxBv−+yC=x开环系统S的能控性矩阵为0n−1Γ=[,][ABBAB?AB]c闭环系统S的能控性矩阵为Kn−1Γ−

3、[(ABKBBABKB),][=(−)?(ABKB−)]cK由于()A−=BKBAB−BKB22()(ABK−=BA−−ABKBKA+BKBKB)2=−ABABK()(BBK−ABK−BKB)@mmm−1以此类推，()ABKB−总可以写成ABABABB,,,的线性组合。因此，存在一个适当非奇异的矩阵U，使得Γ−[(ABKB),]=Γ[,]ABUcKc由此可得：若rank(Γ[,])AB=n，即有n个线性无关的列向量，则Γ[(ABKB−),]也有ccKn个线性无关的列向量，故rank(Γ−[(ABKBn),])=cK5.5状

4、态反馈和输出反馈各有什么优缺点。答：状态反馈的优点是，不改变系统的能控性，可以获得更好的系统性能。其缺点是，不能保证系统的能观性，状态x必须可测，成本高。输出反馈的优点是：保持系统的能控性和能观性不变，结构简单，只用到外部可测信号。其缺点是，由于用到的信号少，它所达到的系统性能往往有限，有时甚至都不能达到闭环系统的稳定性。5.6应用能控性检验矩阵的方法证明状态反馈不改变系统的能控性。然而，对以下系统⎡010⎤⎡⎤x"=+⎢⎥⎢xu⎥⎣−−231⎦⎣⎦yx=[]31可以通过选择适当的状态反馈增益矩阵来改变闭环系统的能观性。答

5、：对于用能控性检验矩阵的方法证明状态反馈不改变系统的能控性，在题5.4中已经证明。开环系统的能观性矩阵为⎡C⎤⎡31⎤Γ==0[]AC,⎢⎥⎢⎥⎣CA⎦⎣−20⎦由于能观性矩阵满秩，故系统是能观的。设Kkk=[]，引入状态反馈uK=−+xv后，闭环系统的状态矩阵是12⎡01⎤AAB!=−=K⎢⎥⎣−−23kk−−⎦12闭环系统的能观性矩阵为⎡⎤C!⎡31⎤Γ=⎡⎤AC!!⎢⎥=0⎣⎦!!⎢⎥⎣⎦CA⎣−−2kk−⎦12取K=−[20]，则可得⎡31⎤Γ=⎡⎤AC!!0⎣⎦⎢⎥⎣00⎦该矩阵不是满秩的，故系统是不能观的。这个

6、例子说明了状态反馈的引入使得原来能观的系统变得不能观了。5.7证明定理5.1.2。证明：先证能控性。对任一输出反馈系统都可对应地构造等价的一个状态反馈系统。由定理5.1.1知，状态反馈不改变系统的能控性，因而，输出反馈也不改变系统的能控性。设被控系统S的状态空间模型为：0x"=Ax+BuyC=x引入状态反馈后，闭环系统S的状态空间模型为：Fx"=()ABFCxBv−+yC=x系统S和S的能观矩阵分别为0F⎡⎤C⎡C⎤⎢⎥⎢⎥CACABFC()−Q=⎢⎥，Q=⎢⎥00F⎢⎥@⎢@⎥⎢⎥n−1⎢n−1⎥⎣⎦CA⎣CABFC()

7、−⎦TTTT可以看出，CABFC(−)每个行均可表为⎡CAC,⎤各行的线性组合，同理有⎣⎦T2TTTTT2CABFC()−是⎡CACAC,,()⎤各行的线性组合，如此等等。据此可以导出：⎣⎦rankQ≤rankQoFo由于S又可以看成为S的输出反馈系统，因而有oFrankQ≤rankQooF由以上两式可得rankQ=rankQooF因此，系统S完全能观测等价于S完全能观测。F05.8采用状态反馈实现闭环极点任意配置的条件是什么？答：采用状态反馈实现闭环极点任意配置的条件是，开环系统是能控的。5.9采用状态反馈实现闭环极点任

8、意配置，其状态反馈增益矩阵K的行数和列数如何确定，计算方法有几种？答：状态反馈增益矩阵K的行数是输入变量的个数，列数是状态变量的个数。计算方法有：1.直接法；2.变换法；3.利用爱克曼公式求解。5.10为什么要进行极点配置？解决系统极点配置问题的思路和步骤是什么？答：对一个线性时不变系统，其稳定性和动态