【7A版】1989考研数学三真题和详解.doc

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1、7A版优质实用文档1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.)(1)曲线在点处的切线方程是___.(2)幂级数的收敛域是___.(3)齐次线性方程组只有零解,则应满足的条件是___.(4)设随机变量的分布函数为则=__________,.(5)设随机变量的数学期望,方差,则由切比雪夫(Chebyshev)不等式,有___.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设则当时()(A)与是等价无穷小量(B)与是同阶

2、但非等价无穷小量(C)是比较高阶的无穷小量(D)是比较低阶的无穷小量(2)在下列等式中,正确的结果是()(A)(B)(C)(D)(3)设为阶方阵且,则()137A版优质实用文档7A版优质实用文档(A)中必有两行(列)的元素对应成比例(B)中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合(C)中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合(D)中至少有一行(列)的元素全为0(4)设和均为矩阵,则必有()(A)(B)(C)(D)(5)以表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件为()(A)“甲种产品滞销,乙种产品畅销”(B)“甲、乙两种产品均畅销”

3、(C)“甲种产品滞销”(D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”三、计算题(本题满分15分,每小题5分)(1)求极限(2)已知且的二阶偏导数都连续.求.(3)求微分方程的通解.四、(本题满分9分)设某厂家打算生产一批商品投放市场.已知该商品的需求函数为,且最大需求量为6,其中表示需求量,表示价格.(1)求该商品的收益函数和边际收益函数.(2分)(2)求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.(4分)(3)画出收益函数的图形.(3分)137A版优质实用文档7A版优质实用文档五、(本题满分9分)已知函数试计算下列各题：(1)(4分)(2)(2分)(3)(1分)(4).

4、(2分)六、(本题满分6分)假设函数在上连续,在内可导,且,记证明在内,.七、(本题满分5分)已知其中求矩阵.八、(本题满分6分)设.(1)问当为何值时,向量组线性无关?(3分)(2)问当为何值时,向量组线性相关?(1分)(3)当向量组线性相关时,将表示为和的线性组合.(2分)九、(本题满分5分)设(1)试求矩阵的特征值；(2分)(2)利用(1)小题的结果,求矩阵的特征值,其中是三阶单位矩阵.(3分)十、(本题满分7分)已知随机变量和的联合密度为137A版优质实用文档7A版优质实用文档试求：(1)；(5分)(2).(2分)十一、(本题满分8分)设随机变量在[2

5、,5]上服从均匀分布,现在对进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1)【答案】【解析】对函数两边对求导,得令得所以该曲线在点处的切线的斜率为,所以切线方程是即为所求.(2)【答案】【解析】因系数,从而即幂级数的收敛半径,当时幂级数绝对收敛.当时得交错级数(条件收敛)；当时得正项级数(发散).于是,幂级数的收敛域是.(3)【答案】【解析】个方程个未知数的齐次方程组有非零解的充分必要条件是,因为此时未知数的个数等于方程的个数,即为方阵时,用判定比较方便.而所

6、以当时.所以此题应填:.137A版优质实用文档7A版优质实用文档(4)【答案】,【解析】由于任何随机变量的分布函数是右连续函数,因此对任何,有.对于,有令,得到,其中.又因在处连续,连续函数在任何一个点上的概率为0,因此所以(5)【答案】【解析】由切比雪夫不等式,有.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.)(1)【答案】(B)【解析】由洛必达法则有.所以与是同阶但非等价无穷小量.(2)【答案】(C)【解析】由不定积分的概念和性质可知,为常数.故应选(C).137A版优质实用文档7A版优质实用文档(3)【答案】(C)【解析】本题考查的充分必要条件,而选项(A)

7、、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.因为对矩阵来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.以3阶矩阵为例,若,条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有,所以(A)、(B)不满足题意,不可选.若,则,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.这样用排除法可知应选(C).(4)【答案】(C)【解析】当行列式的一行(列)是两个数的和时,可把行列式对该行(列)拆开成两个行列式之和,拆开时其它各行(列)均保持不变.对于行列式的这一性质

8、应当正确理解.因此,若要拆开阶行列式,