1994考研数学三真题和详解.doc

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1、1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)_____________.(2)已知,则_____________.(3)设方程确定为的函数,则_____________.(4)设其中则_____________.(5)设随机变量的概率密度为以表示对的三次独立重复观察中事件出现的次数,则_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)曲线的渐近线有()(A)1条

2、(B)2条(C)3条(D)4条(2)设常数,而级数收敛,则级数()(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与有关(3)设是矩阵,是阶可逆矩阵,矩阵的秩为,矩阵的秩为,则()(A)(B)(C)(D)与的关系由而定(4)设,则()(A)事件和互不相容(B)事件和相互对立(C)事件和互不独立(D)事件和相互独立(5)设是来自正态总体的简单随机样本,是样本均值,记则服从自由度为的分布的随机变量是()(A)(B)(C)(D)三、(本题满分6分)计算二重积分其中.四、(本题满分5分)设函数满足条件求广义积分.五、(本题满分5分)已知,求.六、(本题满分5分)

3、设函数可导,且,求.七、(本题满分8分)已知曲线与曲线在点处有公共切线,求:(1)常数及切点；(2)两曲线与轴围成的平面图形绕轴旋转所得旋转体的体积.八、(本题满分6分)假设在上连续,在内存在且大于零,记,证明在内单调增加.九、(本题满分11分)设线性方程组(1)证明:若两两不相等,则此线性方程组无解；(2)设,且已知是该方程组的两个解,其中写出此方程组的通解.十、(本题满分8分)设有三个线性无关的特征向量,求和应满足的条件.十一、(本题满分8分)假设随机变量相互独立,且同分布,求行列式的概率分布.十二、(本题满分8分)假设由自动线加工的某种零件的内径(毫

4、米)服从正态分布,内径小于10或大于12的为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损.已知销售利润(单位:元)与销售零件的内径有如下关系:问平均内径取何值时,销售一个零件的平均利润最大?1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】【解析】利用被积函数的奇偶性,当积分区间关于原点对称,被积函数为奇函数时,积分为0；被积函数为偶函数时,可以化为二倍的半区间上的积分.所以知原式(2)【答案】【解析】根据导数的定义,有.所以由此题极限的形式可构造导数定义的形式,从而求得

5、极限值.由于所以原式.(3)【答案】【解析】将方程看成关于的恒等式,即看作的函数.方程两边对求导,得.【相关知识点】两函数乘积的求导公式：.(4)【答案】【解析】由分块矩阵求逆的运算性质,有公式,且所以,本题对分块后可得.(5)【答案】【解析】已知随机变量的概率密度,所以概率,求得二项分布的概率参数后,故.由二项分布的概率计算公式,所求概率为.【相关知识点】二项分布的概率计算公式：若,则,,二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(B)【解析】本题是关于求渐近线的问题.由于,故为该曲线的一条水平渐近线.又.故为该曲线的一条垂直渐近

6、线,所以该曲线的渐近线有两条.故本题应选(B).【相关知识点】水平渐近线：若有,则为水平渐近线；铅直渐近线：若有,则为铅直渐近线；斜渐近线：若有存在且不为,则为斜渐近线.(2)【答案】(C)【解析】考查取绝对值后的级数.因,(第一个不等式是由得到的.)又收敛,收敛,(此为级数：当时收敛；当时发散.)所以收敛,由比较判别法,得收敛.故原级数绝对收敛,因此选(C).(3)【答案】(C)【解析】由公式,若可逆,则.从而,即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩,所以选(C).(4)【答案】(D)【解析】事实上,当时,是事件与独立的充分必要条件,证明如下：若,则,,,由

7、独立的定义,即得与相互独立.若与相互独立,直接应用乘法公式可以证明..由于事件的发生与否不影响事件发生的概率,直观上可以判断和相互独立.所以本题选(D).(5)【答案】(B)【解析】由于均服从正态分布,根据抽样分布知识与分布的应用模式可知,其中,,即.因为分布的典型模式是:设,,且相互独立,则随机变量服从自由度为的分布,记作.因此应选(B).三、(本题满分6分)【解析】方法1：由,配完全方得.令,引入极坐标系,则区域为.故.方法2：由,配完全方得.引入坐标轴平移变换：则在新的直角坐标系中区域变为圆域.而,则有,代入即得.由于区域关于轴对称,被积函数是奇函数

8、,从而.同理可得,又,故.四、(本题满分5分)【解析】先解出,此方