北航工程硕士应用数理统计前三次作业

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1、一、现场统计了6台设备的故障数据，记录情况如下：第一台：失效时间为100h；第二台：工作了150h后，由于测试设备损坏，观测中断；第三台：工作了185h后失效；第四台：工作230h，未失效，试验中断；第五台：工作了235h后失效；第六台：统计时工作240h了，未失效，试验结束；试用平均秩次法计算3台失效设备的平均秩次Ak和累计失效分布函数F(t)i（计算累计失效分布函数时选用F(t)）n1解：列表如下：序号i设备工作时间运行状态次序k1第一台100F112第一台150S13第一台185F224第

2、一台230S25第一台235F336第一台240S3根据题意，利用平均秩次的增量公式可知：nA1A0.3k1kAAFt()kk1nkni2n0.4A1=1，A2=2.2，A3=3.8i12.23.8根据本题F(t)，∴Fn(t1)=,Fn(t3)=,Fn(t5)=n1777二、试给出失效率函数(t)与可靠度函数R(t)、累计失效分布函数F(t)与失效密度函数f(t)之间的关系，并求当(t)和(t)abt时R(t)、F(t)和f(t)的0表达式。t(t)d

3、ttf(t)解：（1）Re(t)0，Ff(t)(t)dt，(t)R(t)0（2）①当(t)时，即失效分布为指数分布，所以，R(t)e0t,0Fe(t)10t∵f(t)，∴f(t)e0t00R(t)t(t)dt1212(atbt)(atbt)②当(t)abt时，Re(t)0e2，Fe(t)12，12(atbt)fa(t)(bt)e21s11f三、已知beta分布的密度函数为fx(x)(1x)，00，f>

4、0，B(s,f)推导给出beta分布随机变量的均值和方差。111sf11解：E(x)xf(x)dxx*x(1x)dxB(s,f)00111sf1pq11E(x)xd(1x)x,对于beta函数来说，B(p,q)td(1t)tB(s,f)00B(s1,f)(p)*(q)(x1)x*(x)，∴E(x)，又∵B(p,q)，B(s,f)(pq)(s1)*(f)(s1f)(s1)*(sf)ss*(s)*(sf)∴E(x)

5、(s)*(f)(sf1)*(s)(sf)*(sf)*(s)sf(sf)1122221sf11D(x)E(x)(E(x))，其中，E(x)xf*(x)dxx(1x)dxB(s,f)002Bs(s2,f)(s1)sfE(x)，∴D(x)2B(s,f)(sf)(sf1)()sfsf(1)第二次作业2014-04-29四、在总体N(52,6.32)中随机抽取一个容量为36的样本，求样本均值X落在50.8到53.8之间的概率。解：根据题意，X～N

6、(52,6.32)，∴P(50.8

7、3的概率是多少？2X80解：X～N(80,20)，样本量n=100，∴～N(0,1)220100所以，PX(

8、

9、3)=PX(

10、

11、3)=PX(

12、

13、3)=X3XP(

14、

15、)=P(

16、

17、1.5)=2(1f(1.5))=0.133614222201002010020100六、求总体X~N(20,3)的容量分别为10，15的两个独立样本平均值差的绝对值大于0.3的概率。解：根据题意，设X是容量为10的样本均值，Y是容量为15的样本均值，则33XN(20,)，YN(20

18、,)，且X、Y相互独立。根据题意，1015331XYN(0,)即：XYN(0,)，标准化后为2(XYN)(0,1)10152∴PXY(

19、

20、0.3)=PX(2

21、Y

22、0.32)=PX(42

23、Y

24、20.24641)=2(1f(0.4242641))=0.671373七、设(X21,X2,,X10)为来自正态总体N(0,0.3)的一个样本，试求概率102PX{1i.44}。i1XX22解：根据题意，N(0,1)，∴()(10)0