代数应用漫谈

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1、代数应用漫谈学习线性代数到底有什么用？学习线性代数到底有什么用？线性代数是讨论代数学中线性关系经典理论的课程。线性代数在经济管理、运筹学、社会科学、生物遗传学、电子工程、计算机科学、系统科学，甚至在互联网领域都有广泛的应用。向量和矩阵的应用线性方程组的应用线性变换的应用特征值理论的应用向量和矩阵用来表示实际问题的数学模型网络图的邻接矩阵、对策论中的对策矩阵、指派问题中的效率或成本矩阵……线性方程组应用更是无处不在投入产出模型、微分方程求解、网络分析、数值逼近、电路分析、图像处理、线性规划模型线

2、性变换与向量空间应用很多Hill加密算法、图形几何变换、状态变换模型特征值理论是代数中应用最多的理论之一网页搜索、图像压缩、常系数微分方程求解、种群年龄结构模型线性方程组应用：投入产出模型投入产出方法用线性方程组来描述一个经济系统各部门间“投入”与“产出”的关系。它既可以应用于微观经济系统，也可以应用于宏观经济系统的综合平衡分析。上世纪30年代列昂节夫(Leontief)提出投入产出模型，并因此获得1973年诺贝尔经济学奖。目前世界各国都用投入产出方法分析、预测国民经济或各部门经济的资源需求与供给

3、。假设一个经济系统由n个部门组成。每一个部门作为生产者，它的产品除了满足各部门对自己产品的需求，还提供最终产品；作为消费者，它消耗各部门的产品，即接受各部门的投入，同时创造新的价值。部门消耗的价值加上创造的价值等于该部门总产出值。投入产出表反映了经济系统中各部门间的数量依存关系。设第i部门的总产出x，最终产品y；x为iiij第i部门分配给第j部门产品值，或第j部门消耗第i部门产品值；z表示第j部门新创造价值。j投入产出表流量产出消费部门最终产品总产出12┅n投入1xx┅xyx11121n112xx┅xyx

4、生21222n22产部┇┇┇┇┇┇门nxx┅xyxn1n2nnnn创造价值z1z2┅zn总投入=总产出总投入xx┅x12n按行分析，分配值＋最终产品＝总产出按列分析，消耗值＋新创价值＝总产出构造如下的平衡方程组：1.分配平衡方程组：x1x11x12x1ny1x2x21x22x2ny2xxxxynn1n2nnnnxixijyi(i1,2,,n)j12.消耗平衡方程组：x1x11x21xn1z1x2x12x

5、22xn2z2xxxxzn1n2nnnnnxjxijzj(j,2,1,n)i1对于整个经济系统，将分配平衡方程组和消耗平衡方程组的所有方程分别相加，有nnnnnxijyixkxijzji11jk1j11ixij记ai,(j,2,1,n)ijxja表示第j个部门的单位产值，需要消耗的第i个ij部门的产品价值，称为第j个部门对第i个部门的直接消耗系数。a11a12a1na21a

6、22a2nA直接消耗系数矩阵aaan1n2nn分配平衡方程组：x1a11x1a12x2a1nxny1XAXYx2a21x1a22x2a2nxny2(EA)XYxaxaxaxynn11n22nnnn消耗平衡方程组：x1a11x1a21x1an1x1z1XDXZx2a12x2a22x2an2x2z2(ED)XZxaxax

7、axzn1nn2nnnnnn线性方程组应用：线性规划模型线性规划模型是最优化方法的基础，它的目标函数和约束条件都是线性函数。线性规划模型的标准形式是：Tminzcxs.t.Axbx0其中x是n维的决策向量，c是n维价值向量，mn阶矩阵A约束矩阵，约束x0称为变量的非负限制。1947年，Dantzig提出求解线性规划的单纯形法，奠定了最优化理论的基础。从线性代数的角度看，约束矩阵A的行数m小于其列数n，所以约束方程组Ax=b有无穷多解。如果约束方程组的解还满足非负性，我们就称之为线性规划问题

8、的可行解；可行解中，使目标函数值最小的解，称为线性规划的最优解。用初等行变换，将增广矩阵化为行最简形。将其中的主元称为基变量，自由变量为非基变量(必须取零)。如果解是可行的，称为基本可行解。线性规划模型的求解，等价于求线性方程组满足一定条件的解。在某种意义上，线性规划的最优解，就是线性方程组的一个特殊解。线性方程组应用：交通流量计算220300100左图表示的交通网络x1x2180300中，每条路都是单行线。x7x9x11x3