第2讲-场论复习

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1、场论基础场论基础如何精确描述？Mathematically,afieldissimplyafunctionof“静”态场position-somethingthathasadefinitevalueateachpoint.“动”态场Thefieldtheorymakesuseofbothderivativesandintegrals.Thederivativesindicatehowfieldchangelocallyfrompointtopoint,whereasthe空间变化时间变化integralsdescribegl

2、obalattributesoffield(effectsSpatialderivativesTemporal标量场：梯度derivativesoverregionsinthefield).矢量场：散度和旋度时间导数2内容提要矢量点积¢矢量代数+，-，×（数量和矢量）a·B=

3、a

4、

5、B

6、cosθaB矢量点积为标量¢正交坐标系直角坐标系，圆柱坐标系，球坐标系¢空间场量的微分和积分标量场-梯度矢量场散度，散度定理；旋度，Stokes公式零场恒等式，Helmholtz定理矢量A和B垂直A·B=04矢量叉积引入坐标系的目的A×B=a

7、N

8、A

9、

10、B

11、sinθAB¢电磁场物理规律本身与坐标系无关，在实际描述矢量叉积为矢量，叉乘结果矢量垂直原矢量求解电磁场问题时需要坐标系，合理的选择坐标系可以降低分析问题的难度。A×B=－B×A¢坐标系的最基本要求——“正交性”右旋左旋矢量A和B平行A×B=01、为什么要“正交”？2、几何上如何确定“正交”？561右手惯例坐标系坐标系的惯例和矢直量的叉乘有关系，不同的惯例会带来角叉乘矢量方向的不同，一般，采用右坐手惯例坐标系。标i×j=k系78场分量圆与单位向量－正交基柱单坐单位向量－正交基位标向量系10何时应采用圆柱坐标系？

12、圆柱坐标与直角坐标的转换场的分布关于轴xρ⋅cos()φ呈旋转圆柱对称yρ⋅sin()φzz22ρx+yρ≥0⎛y⎞φatan⎜⎟⎝x⎠zz122两个正交极坐标系何时应采用球坐标系？场的分布呈旋转圆球对称球坐标系单位向量－正交基坐标系转换平行平面场xrsin⋅()θ⋅cos()φ¢如果在一族平行平面上，场F的分布都相同，即yrsin⋅()θ⋅sin()φ¢F=f(x,y)，称这个场为平行222平面场。zrcos⋅()θrx+y+zr0≥¢对于平行平面场，只需求解⎛z⎞一个面上场的分布即可。θacos0≤θ≤180⎜222⎟0

13、⎝x+y+z⎠¢直角坐标系。⎛y⎞φatan⎜⎟⎝x⎠1516轴对称场球面对称场¢如果在经过某一轴线(设为z轴)¢如果在一族同心球面上(设的一族子午面上，场F的分布球心在原点)，场F的分布都相同，即F=f(r,z)，称这个都相同，即F=f(r)，称这场为轴对称场。个场为球面对称场¢对于轴对称场，只需求解一个¢对于球对称场，只需求解球对称面面上场的分布即可。对称面上场的分布即可。¢圆柱坐标系。0¢用球坐标系17183标量与矢量标量场和矢量场¢标量（Scalar）是只有大小的物理量（可¢从场的空间特性来看，场是一个标量或以包括相

14、位），例如：电压，电流，电荷量，能量，温度；一个矢量的位置函数，场中任一点都有一个确定的标量值或矢量值与之对应。¢矢量（Vector）是同时具有大小（可以¢标量场如：温度场、电位场、高度场；包括相位）和方向的物理量，例如：速¢矢量场如：流速场、电场、涡流场等。度，电场强度，磁场强度；1920标量场和矢量场数学形式如何表示标量场－等值线¢直角坐标下，标量场只需一个方程描述5ϕ(x,y,z)=2224π[(x−1)+(y+2)+z]¢直角坐标下，矢量场需三个分量方程描述22A(x,y,z)=2xyi+xzj+xyzk等值线将三维

15、场等值线将三维场““压缩压缩””到二维平面到二维平面21221、方向要素：场量矢量场场线沿场线切线方向；2、大小要素：线段如何表示矢量场－矢量线长短反应场量大小矢量线方程的一般形式为A×dl=0在直角坐标下:A=Axi+Ayj+Azk;dl=dxi+dyj+dzk;场线形象描绘了矢量场的场线形象描绘了矢量场的AxAyAxAyAz二维场=三维场==形态特征形态特征dxdydxdydz23244标量场中位置的导数信息标量场中位置的导数信息ϕ(r+dr)=C+dC如何确定标量场？梯度梯度ϕ(r)=Cdrdϕ=ϕ(r+dr)−ϕ(r

16、)r+dr∂ϕ∂ϕ∂ϕ任意标量场都可以由任意标量场都可以由场的梯度和场中某一场的梯度和场中某一=dx+dy+dz∂x∂y∂zr点的值点的值唯一确定唯一确定全微分的定义∂∂∂∇=i+j+kdr=dxi+dyj+dzk对比一维情况∂x∂y∂zdϕ=ϕ(r+dr)−ϕ(r)=∇ϕ⋅dr=∇ϕ⋅