油罐刻度设计数学模型

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1、第37卷第16期数学的实践与认识Vol137No1162007年8月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYAugust,2007建　　模油罐刻度设计的数学模型及数值解法王若鹏,　吴国民(北京石油化工学院数理系,北京　102617)摘要:从炼油厂储油罐上的刻度设计问题入手,建立了储油量与刻度之间关系的积分和微分方程数学模型,利用数值解法得到了实际问题中储油罐刻度的设计方案,并给出了储油量与刻度差的关系曲线.关键词:数学模型;数值解法;cauchy问题;刻度设计1　引　　言　　在石油的产地和加工厂,为了储存原油,经常使

2、用大量的储油罐.油罐的外形由三部分构成,中间是一个平放圆柱体,两边是由一个椭球体沿对称轴一分为二的两个半椭球体焊接在圆柱体两端组合而成,上端有注油孔.由于经常注油和取油,很难知道注入油和取出油的数量,这给注油和取油数量的统计带来很大的麻烦.因此,要给油罐上安装一个精细的刻度计,工人根据刻度计就能知道每次注入和取出油的量的多少.如何设计刻度计的刻度呢?这是一个来自油田的实际问题.2　模型建立设圆柱体的底面半径为R,高度为L,而椭球体的长半轴、短半轴、竖半轴的长分别为R、a、R.若油罐上刻度计的刻度为h,而此时油罐内的储油量为V,那么问题归

3、结为求出函数h=h(V),0FVFVmax(1)其中满足V=0时,h=0.V=Vmax时,h=2R.而油罐是由圆柱体和两个椭球体焊接而成的,故有242Vmax=PRL+PaR(2)3换言之,要求油量关于刻度计的刻度函数V=V(h)0FhF2R(3)的反函数.模型一　积分方法建模记V(h)=V圆柱(h)+V椭球(h),其中V圆柱(h)和V椭球(h)分别表示当刻度为h时油罐内的储油量.先计算圆柱体,如图1所示,圆柱体储油部分的高度为h时,横截面的面积为S(h),那么收稿日期:2004211226基金项目:北京石油化工学院校内青年科研基金(编

4、号:N06229)2数　学　的　实　践　与　认　识37卷22S(h)=2R-(R-h)õL(0FhF2R)(4)图1故高度为h时,圆柱体内的储油量为hh22V圆柱(h)=∫S(h)dh=∫2R-(R-h)õLdh00计算得22Rh-RR-h2PRV圆柱(h)=2Larcsin-2Rh-h+(0FhF2R)(5)2R24　　再计算椭球体,如图2所示,椭球体储油部分的高度为h时,横截面是一个椭圆,设其面积为P(h),那么2(h-R)P(h)=PaR1-2(6)R所以hh2(h-R)V椭球(h)=∫P(h)dh=∫PaR1-2dh00R3R(

5、h-R)计算积分得V椭球(h)=PaRh--2(7)33R因此,刻度与油量之间的数学模型为22Rh-RR-h2PRV(h)=2Larcsin-2Rh-h+2R243R(h-R)+PaRh--2(0FhF2R)(8)33R　　模型二　微分方程模型油量关于刻度的函数关系式(8)的显式表达的导出有赖于所涉及积分.由上面的计算可以看出,求积分往往不容易,而且问题的目的是求出h关于V的表达式.然而求导数比较容易,基于此,下面给出微分方程模型.建立如图3所示的空间直角坐标系,则圆柱体的方程为222(z-R)+x=R,0FyFL.222它与平面z=S

6、的交面为x=R-(S-R),0FyFL,其面积为22RS-S图2P(S)=2∫(L-0)dx,0FSF2R(9)016期王若鹏,等:油罐刻度设计的数学模型及数值解法3图3故有22h2RS-Sh2RS-SV圆柱(h)=2∫d∫SLdx=2L∫d∫Sdx(10)0000同样道理,椭球的方程为222xy(z-R)2+2+2=1RaR222xy(S-R)它与平面z=S的交面为2+2=1-2,0FSF2R,其面积为RaR22RS-S2a22Q(S)=2∫2RS-S-xdx(11)0R所以2h2RS-S4a22V椭球(h)=d∫S2RS-S-xdx

7、(12)R∫00综合(11)、(12)式,有22h2RS-Sh2RS-S4a22V(h)=2L∫d∫Sdx+d∫S2RS-S-xdx(13)00R∫00两边对h求导,得222Rh-h2Rh-hdV(h)4a22=2L∫dx+2Rh-h-xdx(14)dh0R∫0进而,根据复合函数求导法可得22Rh-h2dV2R-2h4a2R-2h2=2Lõ+dxdh22Rh-h2R∫02Rh-h2-x2即2dV2(R-h)Pa2=L+(R-h)(15)dh2Rh-h2R因此,微分方程模型为4数　学　的　实　践　与　认　识37卷2dV(R-h)Pa22=

8、2L+2Rh-hdh2Rh-h2R(16)V(0)=0V(2R)=Vmax这是一个Cauchy问题.3　模型的数值解法要由油量函数的解析式来解析地求出刻度函数h(V)的显式表示式是不可能的,所以下面给出由油