09：级数收敛性分析与判断的快速程序化方法高数解题技巧高数考研技巧new

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1、2006年水木艾迪考研辅导班考研数学三十六技教务电话：62701055网管电话：62780661-433____________________________________________________________________________________________三十六技之九：级数收敛性分析与判断的快速程序化方法符号运算是基础，正项级数是核心。比较方法是主线，运算法则要认真。收敛原理是极限注意绝对与条件。∞∞∞n−1例9-1已知∑（−1）an=,3∑a2n−1=12，则∑an=。n=1n=1n=1∞【解】∑an=21

2、。n=1[寓意]本题练习级数的符号运算，以及收敛级数的运算法则，而级数的运算法则的实质是极限的运算法则。∞例9-2设级数∑un收敛，则必收敛的级数是（）。n=1∞u∞∞∞nn2(A)∑(−)1。(B)∑un。(C)∑(un+un+1)。(D)∑(u2n−u2n−1)。n=1nn=1n=1n=1【解】应选(C)。a∞∞n例9-3若lim=0，且级数∑n(an−an−1)收敛，则∑an收敛性的n→∞πn=1n=1cos−1n结论是（）。（A）收敛，（B）发散，（C）不定，（D）与a正负有关n【解】答案(A).∞∞u2nn例9-4已知∑un收敛，

3、则∑(−)1（）。n=1n=1n(A)绝对收敛。(B)条件收敛。(C)收敛性与的取值有关。b(D)发散。【解】由级数运算性质及正项级数比较法，该级数绝对收敛。答案(A)。2nk11⎛1⎞例9-5设a=⎜1+⎟，则（）。n∑knk=13⎝k⎠(A)lima=0，(B)lima=+∞，nnn→∞n→∞(C)lima不存在,亦不为∞，(D)lima=c>0。nnn→∞n→∞【解】应选(A)。∞n−1aπ例9-6设数数列an>0单调减，且limnan=1，则级数∑(−)1(an+sin)的收敛n→∞nn=1清华大学刘坤林水木艾迪网址:www.tsi

4、nghuatutor.com清华大学东门外创业大厦100612006年水木艾迪考研辅导班考研数学三十六技教务电话：62701055网管电话：62780661-433____________________________________________________________________________________________性结论是（）。（A）绝对收敛。（B）条件收敛。（C）发散。（D）与参数a取值有关。【解】答案（B）。∞22例9-7设参数a≠0，则∑sin(πn+a)收敛性的结论是（）。n=1（A）绝对收敛。（B）

5、条件收敛。（C）发散。（D）与参数a取值有关。【解】选（B）∞⎡−n⎤λ(1)例9-8设常数λ>0，则级数∑⎢ln(1+)+⎥（）。n=1⎣n2n⎦（A）绝对收敛，（B）条件收敛，（C）发散，（D）收敛性与λ取值有关。【解】应用级数运算法则即知该级数发散。答案:C。∞∞nλ例9-9设常数λ≠0，an>0，级数∑an收敛，则级数∑(−1)(ntan)a2n（）。n=1n=1n（A）绝对收敛。（B）条件收敛。（C）发散。（D）收敛性与λ有关。∞nλ【解】级数∑(−1)(ntan)a2n绝对收敛。n=1n1∞例9-10设函数f∈C[10,]，a=

6、nnf(xd)x（n=1,2,L），则级数∑an∫1nn+1n=1的收敛情况是[].（A）绝对收敛。（B）条件收敛。（C）发散。（D）与f(x)增减性有关。【解】选（A）。∞nan!例9-12设a∈R，判断级数∑的收敛性。nn=2n【解】（1）当ae时，原级数发散。当a=e，原级数必发散。（2）a=0时，原级数绝对收敛。综上分析，当a0，p>1，且满足lim[n1(−cos)a]=μ≠0，nnn→∞n∞若级数∑an收敛，则p的取值范围是,3(+

7、∞)。n=1例9-14设f′0(),f′′)0(存在且f′)0(≠0。讨论级数的收敛性。清华大学刘坤林水木艾迪网址:www.tsinghuatutor.com清华大学东门外创业大厦100622006年水木艾迪考研辅导班考研数学三十六技教务电话：62701055网管电话：62780661-433____________________________________________________________________________________________1【解】p>1绝对收敛，p>收敛。2∞n例9-15设f(x)在,0[

8、+∞)上单调增加且有界，试证明级数∑[f(n)−∫f(x)dx]收敛。n−1n=1【证】略。级数综合判敛题目n例9-16设有方程x+nx−1=0,其中n为正整数.证明此方程存在唯