数学物理方法3.1数学模型的建立new

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1、§3偏微分方程的定解问题§3.1、数学模型的建立§3.2、分离变量法§3.3、行波法§3.4、积分变换法§3.5、Green函数第三章偏微分方程的定解问题第一节数学模型的建立§3.1数学模型的建立§3.1.1三类典型的数学物理方程§3.1.2定解条件和定解问题§3.1.3解的概念和线性叠加原理第三章偏微分方程的定解问题第一节数学模型的建立☆数学物理方程定义描述某种物理现象的数学微分方程。☆主要内容第3章三种方程、四种求解方法第4章二个特殊函数分离变量法、波动方程、行波法、贝赛尔函数、热传导、勒让德函数积分变换法、

2、拉普拉斯方程格林函数法第三章偏微分方程的定解问题第一节数学模型的建立一、基本方程的建立例1、弦的振动条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动，在外力f(x,t)的作用下。研究对象：uxt(,)线上某点在t时刻沿纵向的位移。第三章偏微分方程的定解问题第一节数学模型的建立简化假设：(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。(2)振幅极小，张力与水平方向的夹角很小。牛顿运动定律：水平方向：TTcos'cos'xdx竖直方向：TTsin'sin'gdsf(,)xtdxdsu

3、xyt其中：cos1cos'1T'M''uxt(,)dssintanMxgdsuxxt(d,)Tsin'tan'xxxdxx第三章偏微分方程的定解问题第一节数学模型的建立2ux(d,)xtuxt(,)xdxuxt(,)dxxxxx2ddsxTT'22xdxuxt(,)xdxuxt(,)Tgf(,)dxtxdxxxxt2222uxt(,)uxt(,)TTgf(,)xt令：222axt22

4、uu2afg………一维波动方程22tx自由项------非齐次方程忽略重力和外力作用：22uu2a0tx22------齐次方程第三章偏微分方程的定解问题第一节数学模型的建立例2、时变电磁场从麦克斯韦方程出发：DHJctBEtDvEB0Ht在自由空间：HDEEtJ0,0cvBHE0H0第三章偏微分方程的定解问题第一节数学模型的建立E对第一方程两边取旋度，得：

5、HtH(E)HtEt根据矢量运算：E02HHH()H0H2H22由此得：H()Httt22222拉普拉斯算子：222xyz2
222HH1HH()——磁场的三维波动方程2222txyz2E12同理可得：E——电场的三维波动方程2t第三章偏微分方程的定解问题第一节数学模型的建立例3、热传导热传导现象：当导热介质中各点的温度分布

6、不均匀时，有热量从高温处流向低温处。所要研究的物理量：温度u(x,y,z,t)Sn根据热学中的傅里叶实验定律MV在dt时间内从dS流入V内部的热量为：Su热场ddQkStdkunˆdSdtkudSˆdtn从时刻t到t通过S流入V的热量为12t2k为导热系数Q1kudSˆdtt1S高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分）t22QkudVdt1t1V第三章偏微分方程的定解问题第一节数学模型的建立t22流入的热量：QkudVdt1

7、t1V流入的热量导致V内的温度发生变化Snu(x,y,z,t)u(x,y,z,t)M12VS温度发生变化需要的热量为：热场Qcu(x,y,z,t)u(x,y,z,t)dV221Vt2ut2ucdtdVcdVdtt1tt1tVVt22t2uQQkudVdtcdVdt12tt11tVV2uuk222kucuau热传导方程ttc2u22稳恒温度场：u0有热源：auft第三章偏微分方程的定解问题第一节

8、数学模型的建立例4、位势方程（Poisson方程或Laplace方程）确定所要研究的物理量：电势分布u(x,y,z)穿过封闭曲面向外的电场强度通量等于所围空间中电荷量的4倍:EdS4(x,y,zdxd)ydzSV根据物理规律建立微分方程(对方程进行化简)：Eu2u4泊松方程2拉普拉斯方程(无源场)u0第三章偏微分方程的定解问题第一节