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1、第21卷第4期华东交通大学学报Vol.21No.42004年8月JournalofEastChinaJiaotongUniversityAug.,2004文章编号:1005-0523(2004)04-0132-04改进的遗传算法在非线性方程组求解中的应用曾 毅(华东交通大学基础科学学院,江西南昌330013)摘要:将非线性方程组的求解问题转化为函数优化问题,利用遗传算法适应值的分布和二进制编码的特点,通过缩小、移动搜索空间的方法,求得非线性方程组的高精度的解.同时,数值模拟表明改进后的算法的提高了遗传算法在演化后期的局部寻优能力.关 键 词:遗传算法;非线性方程组;搜索空间;函
2、数优化中图分类号:O242.2 文献标识码:A0 引 言1 问题的描述及遗传算法的改进在科学技术和工程中常遇到求非线性方程组1.1问题的描述的解的问题,该问题是一个很古老的问题,但又具设非线性方程组为有十分重要意义的问题.解决该问题的传统方法主fj(x1,x2,⋯xn)=0(j=1,2,⋯,m)要有迭代法、牛顿法、梯度法、共轭方向法及变尺度n其中X=(x1,x2,⋯xn)∈D3、ai≤xi≤bi,i=1,2,⋯,n},不妨假定非构造都与所求方程组的特性有很大关系,在很多情线性方程组在区域D
4、内有唯一解.为便于用遗传算况下,算法中算子的构造及其有效性成为解决问题法求解,构造函数的巨大障碍.而遗传算法作为一种非线性全局优化m.F(x1,x2,⋯xn)=∑
5、fi(x1,x2,⋯,xn)
6、.搜索算法具有较强的搜索能力,被广泛地应用于许i=1[1]这样,在区域内求解非线性方程组问题就转化多领域.本文首先将非线性方程组的求解问题转为函数优化问题化为一个约束最优化问题,然后根据遗传算法适应minF(x1,x2,⋯,xn)值的分布和染色体(字符串)二进制编码的特点,通s.t(x1,x2,⋯,xn)∈D.(1)过反复缩小搜索空间及移动搜索空间等方法,提出3(x333)一种改进的遗传
7、算法.用改进的遗传算法求非线性显然,非线性方程组的解X1,x2,⋯,xn33方程组的解,结果表明该方法不仅可以求得高精度就是函数优化问题的最优解,且它满足F(x1,x2,3)=0.的解,而且大大提高了遗传算法的局部搜索能力.⋯,xn1.2遗传算法的改进遗传算法(GeneticAlgorithm)是美国密执根大学Holland教授提倡发展起来的,是一种基于“适者生收稿日期:2004-03-25作者简介:曾 毅(1965-),男,江西吉安人,副教授.©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.第4期
8、 曾 毅:改进的遗传算法在非线性方程组求解中的应用 133存”的一种高度并行、随机和自适应全局优化搜索1)当前代的最优解的第i个分量xi落在缩小算法.遗传算法利用复制、交叉、变异等操作来模拟后的搜索区间内时,若个体的第i个变量的二进制自然进化,完成问题寻优,并求得问题的最优解或编码Si的最高位与当前代的最优解的最高位的基满意的解.因为二进制编码容易确定群体的码串的因相同时,则从左边第二位开始依次向左移一位,相似性,且码串的每位信息可提供最多的模式数,最后一位随机填上1或0;若个体的第i个变量的所以将上述问题采用二进制编码,设第i个变量
9、i二进制编码Si的最高位与当前代的最优解的最高的对应的二进制编码为位的基因不相同时,个体的与变量xi对应的二进制(i)(i)(i)Si=B1B2⋯Bni(i=1,2,⋯,n)(2)编码全部基因位随机地填上1或0,即随机地产生其中B(i)(j=1,2,⋯,n)的取值为0或1,于新的基因段.ji是,向量X=(x1,x2,⋯,xn)对应的二进制编码(有2)当前代的最优解的第i个分量xi落在缩小时我们也称之为染色体)可表示为S1,S2⋯Sn.当变的搜索区间端点时,最优个体的最后一位与移动前量的xi取值区间为[ai,bi]时,二进制编码对应的的首位一致,而非最优个体按(1)处理.此时,由
10、于变量值满足关系式问题的最优解可能会落在搜索区间以外,我们将缩′′bni小的区间(记为[ai,bi])作平移.当当前最优解在落i-ai(i)n-jxi=ai+n∑Bj2i.(3)′′2i-1j=1在区间的左端点时,区间[ai,bi]向左移动,且移动(i)′′n若ci=(ai+bi)/2,从关系式(3)可知,当B1的距离为kdi(本文k=2),其中di=(bi-ai)/(2i(i)=1时,xi∈[ci,bi];当B1=0时,xi∈[ai,ci].于-1),然后改变对应的二进制编码,即将得到的二
