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《工程数学2010-ch06-积分变换》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第六章积分变换6.1傅里叶级数6.2傅里叶积分6.3傅里叶变换6.4拉普拉斯变换6.5黎曼－梅林公式6.6拉普拉斯变换的应用6.7小结PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.com.cn§6.1傅里叶级数周期为2p函数的傅里叶级数展开设周期为2p的函数fx()在区间[-,pp]上黎曼可积或在广义积分意义下绝对可积(简称可积或绝对可积),则fx()可以展开为三角级数,即可作傅里叶(Fourier)展开¥fx()=C0++å(CmmcosmxDsinmx)m=1右端称为周期函数f()x的傅里叶(Fourier)级数,C
2、D和称mm为傅里叶系数.PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.com.cn傅里叶系数的计算公式¥在式f(x)=C0++å(CmmcosmxDsinmx)m=1两边乘cosnx并在[-pp,,]上积分得pp¥éùòòf(x)cosnxdx=êúC0++å(CmmcosmxDsinmx)cos.nxdx--ppëûm=1利用三角函数系{1,sinx,cosx,sin2xx,cos2,×××}的正交性:pcos2nxdx=pd1,mn=ò-p0,nìdmn,ºípî0,m¹ncosmxcosnxdx=pdòmn¹0,-
3、ppòcosmxsin0nxdx=-pp¥得òfx()cosnxdx=+C02.pd0,,nåCmpdmn-pm=1pp11所以C==f(x)dx,Cf(x)cosmxdx.0òmò2pp--ppPDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.com.cn类似地,在式¥f(x)=C0++å(CmmcosmxDsinmx)m=1两边乘sinnx并在[-pp,,]上积分得pp¥éùòòf(x)sinnxdx=êúC0++å(CmmcosmxDsinmx)sinnxdx--ppëûm=1利用三角函数正交关系pòsin0nxdx=
4、ì1,mn=-pdºípmn,î0,mn¹sinmxsinnxdx=pdòmn¹0,-ppòcosmxsin0nxdx=-pp¥得òfx()sinnxdx=åDmpdmn,-pm=1p1所以D=fx()sinmxdxmòp-pPDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.com.cn傅里叶级数的收敛条件对xÎ-[pp,],若f(x)连续,则傅里叶级数收敛于f(x);若是xfx()的第一类间断点(跳跃点),但f¢¢(x+-0)和fx(0),都存在则级数收1敛于[f(x+0)+-f(x0)].(Dirichlet推论,收敛的
5、充分条件).2ì1,xÎ-(p,0)ïï1例1.f(xx)=í,=±0,pï2ïî0,xÎ(0,)p12ésin3xsin(2kx+1)ù=-êúsinx++×××++×××2pëû3(2k+1)PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.com.cn任意周期函数的傅里叶级数展开l设f(x)的周期为即2l,f(x+2l)==f(x).,令xy则plf(x)==f(y)gy().pélùæöll由于g(y+2pp)=f(y+2)=fç÷y+2l==f(y)gy()êúëpûèøpp因此gy()2是以p为周期的函数,可以应
6、用前面的结果¥g(y)=+C0å(Cmcosmy+Dmmsiny)m=1¥æömmpp所以f(x)=C0++åçCmcosxDxmsin÷m=1èlløPDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.com.cn其中傅里叶系数pl11C=g(y),dy=f()xdx0òò2p2l-p-lpl11mpC=g(y)cosmydy=f(x)cosxdxmòòpll-p-lpl11mpD=g(y)sinmydy=f(x)snixdxmòòpll-p-lìï0,xÎ-(1,0)ï2例2.f(x)=Îíxx,[0,1)ï1ï,1x=±
7、î2¥nn¥+1n12(-1)1éù(--1)(1)1-=+22åcos2nxp++åêú32sinnxp6ppn=1nn=1ëûnnpPDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.com.cn偶函数和寄函数的傅里叶级数展开对偶函数f(x)=-fx(),¥æömpf(x)=+C0åç÷Cxmcosm=1èøll1C=f()xdx0òl0l2mpC=f(x)cosxdxmòll0对奇函数f(x)=--fx(),¥æömpf(x)=åç÷Dxmsinm=1èøll2mpD=f(x)sinxdxmòll0PDF文件使用"pdf
8、FactoryPro"试用版本创建www.finep
