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1、第六讲、系统优化模型1.在系统工程学科中的地位2.最优化模型举例1)食谱问题设市场上可以买到n种不同的食品，第j种食品的价格为c，每种食品含有jm种营养成份，每单位第j种食品含第i种营养成份为a。假设每人每天对第iij种营养成份的需要量不少于b，试确定在保证营养条件下的最经济食谱。i设每人每天对n种食品的需要量为：x,x,⋅⋅⋅,x，则相应的伙食费为：12ncx+cx+⋅⋅⋅+cx1122nn保证满足营养最小的需求约束方程为：ax+ax+⋅⋅⋅+ax≥bi=1,2,⋅⋅⋅,mi11i22innix≥0j=1,2,L,n
2、j则数学模型为：mincx+cx+⋅⋅⋅+cx1122nns.tax+ax+⋅⋅⋅+ax≥b1111221nn1ax+ax+⋅⋅⋅+ax≥b2112222nn2…………………………ax+ax+⋅⋅⋅+ax≥bm11m22mnnmx≥0j=1,2,L,nj如果令Tx=(x,x,L,x)12nc=(c,c,L,c)12nA=(a)ijm×nTb=(b,b,L,b)12m则上面的优化模型可以写成如下矩阵形式：mincxs.tAx≥b,x≥02)结构设计问题设两杆组成的对称衔架如下图所示，已知衔架的跨度为2L，高度x的上2限为
3、H，承受负荷2P，钢管的厚度为T，材料比重ρ，纵向弹性系数为E且允许应力σ，试确定钢管的平均内径x和衔架高度x并使衔架重量最小。y122PxYx12TθYY-Y剖面2L衔架的重量为：221/2G=2πρTx(L+x)12平均内径x和高度x满足如下约束：12ò高度约束：x≤H2ò钢管压应力约束：在负荷2P的作用下，钢管承受的压力F为221/2PP(L+x)2F==cosθx2钢管的横截面面积S为S=πTx1因此，钢管的压应力为221/2P(L+x)2σ(x,x)=12πTxx12所以对给定的允许应力σ，要求y221/2P
4、(L+x)2≤σyπTxx12ò临界应力约束：假设弹性模数为E，则利用欧拉公式可以算出临界应力σ为l222πE(x+T)1σ=l228(L+x)2因此，要求221/2222P(L+x)πE(x+T)21≤22πTxx8(L+x)122综上所述，衔架设计问题的最优化模型为221/2min2πρTx(L+x)12s.tx≤H2221/2P(L+x)2≤σyπTxx12221/2222P(L+x)πE(x+T)21≤22πTxx8(L+x)122x≥0,x≥0123)水果采购问题某单位举行联欢会要采购香蕉、苹果和葡萄，假设市
5、场上香蕉、苹果和葡萄的价格分别为4.2元/公斤、2.4元/公斤、2.2元/公斤，如果要求采购水果的钱不超过300元、水果总重量不小于10公斤、香蕉和苹果总和不小于6公斤，试确定最好的采购方案。设x、x、x分别是购买香蕉、苹果和葡萄的重量（公斤），则购买水果的123总金额y和采购水果的总重量y为12y=4.2x+2.4x+2.2x1123y=x+x+x2123采购应该满足的约束为：ò资金约束：4.2x+2.4x+2.2x≤300123ò重量约束：x+x+x≥10，x+x≥612312ò非负约束：x≥0，i=1,2,3i所
6、以，优化模型为min4.2x+2.4x+2.2x123maxx+x+x123s.t4.2x+2.4x+2.2x≤300123x+x+x≥10123x+x≥612x≥0，i=1,2,3i4)工业经济发展规划问题某地区要安排其年度工业生产计划，计划总产值达到A亿元，假设该地区工业经济的行业包括：重工业、轻工业、冶金、石化、电子、医药、其它共7个，设x（i=1，2，…，7）依次表示该7个行业的产值。i+−为了建立目标的约束方程，为了方便，用d、d（i=1，2，…，6）表示ii相应目标的超出值和缺少值，并不计目前状况。ò产值目
7、标约束：7−+∑xi+d1−d1=Ai=1ò劳动力约束：用a表示第i个行业单位产值的劳动力系数，A表示该年1i1度可提供的总劳动力，则有7−+∑a1ixi+d2−d2=A1i=1ò能源供应约束：用a表示第i个行业单位产值的能源系数，A表示该年2i2度可提供的能源总量，则有7−+∑a2ixi+d3−d3=A2i=1ò占地面积约束：用a表示第i个行业单位产值的所需的建筑用占地面3i积，A表示该年度可提供的建筑用占地总面积，则有37−+∑a3ixi+d4−d4=A3i=1ò投资约束：用a表示第i个行业单位产值所需的投资金额，
8、A表示该年4i4度的投资总额，则有7−+∑a4ixi+d5−d5=A4i=1ò各行业产值上下限约束：用D、E分别表示第i个行业产值的下限和上ii限，则有D≤x≤Ei=1，2，…，7iiiò上缴利税目标：用a表示第i个行业单位产值上缴的利税，A表示该年5i5度期望达到的利税总额，则有7−+∑a5ixi+d6−d6=A5i=1+−ò偏
