2014考研数学最后20题

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1、2014考研数学最后20题姜晓千1232ln(2cos)3(1sinxx)1（1）（本题满分10分）求极限limx0xxln(1)2【答案与解析】本题主要考查泰勒公式求极限，需要大家掌握常见函数的泰勒公式.由122(1)22ln(1x)xxox()，(1x)1xxox()22!得124ln(2cos)xln1(1cos)x1cosx(1cos)xox()212311244(1sinx)1sinxsinxox()39故原式1241214421cos

2、x(1cos)xox()3sinxsinxox()239lim4x0x22422cosxsinx(1cos)x1sinxlimlimlim444x0xx0x3x0x2sinx2sincosxx111lim3x04x433【评注】泰勒公式是考研数学的重点内容，主要用于求极限、求高阶导、证明含有高阶导的不等式、幂级数的展开与求和，主要掌握以下函数的泰勒公式：nx12xe1xxx(,)2!n0n!n1123n1xln(1x)xxx(1)

3、x(1,1]23n1n21n1135nxsinxxxx(1)x(,)3!5!n0(2n1)!2n1124nxcosx1xx(1)x(,)2!4!n0(2)!n(1)2(1)(n1)n(1x)1xxxx(1,1)2!n0n!fx()（2）（本题满分10分）已知fx()在0点某邻域二阶连续可导，lim0且fx()0，设ux()x0xxuxtdt()0表示曲线yfx()在切点(,())xfx处的切线在x轴上的截距，求

4、lim.x0lncosx【答案与解析】本题主要考查导数定义、导数几何应用、变限积分求导公式、极限计算，属于有难度的综合题.曲线yfx()在切点(,xy)处的切线方程为00yyfx()(xx)000令y0，解得曲线yfx()在切点(,())xfx处的切线在x轴上的截距为fx()ux()xfx()fx()由lim0，得ff(0)(0)0，从而x0xfx()xxxuxtdt()utdt()fx()00limlimlimx0lncosxxx012x0x2fx()fx()1lim1

5、limxx00xfx()fx()xf()xfx()x1limx0fx()fx()xf(0)1ff(0)(0)11122【评注一】考试中经常会给出以下两个条件，希望同学们对其结论熟稔于心：fx()（1）若fx()在0点连续，limA，则f(0)0,f(0)A；x0xfx()（2）若fx()在0点连续可导，limA，则f(0)f(0)0,f(0)2A.2x0x【评注二】变限积分一般求导公式为()xft()dtf(())()xxf(())

6、()xx()x但考试中往往考查以下两种变形，大家需要先处理再求导：xxx（1）Fx()0(xtftdt)()x0ftdt()0tftdt()；xxxtu22（2）Fx()sin(xtdt)sinudu00（3）（本题满分10分）设fx()为连续的偶函数，x均有fx()0，令aFx()

7、xtftdtx

8、(),[aa,]a（1）讨论曲线yF(x)的凹凸性；（2）求F(x)的最小值；2（3）若a，F(x)的最小值均可表示为f(a)a1，求fx().【答案与解析】本题主要考查变限积分求导公式

9、、导数应用、一阶线性微分方程求解，较为综合.（1）axaFx()axtftdt()a(xtftdt)()x(txftdt)()xxaaxaftdt()atftdt()xtftdt()xxftdt()xaFx()ftdt()xfx()xfx()xfx()xfx()ftdt()axxaftdt()ftdt()axF(x)f(x)f(x)2f(x)0从而曲线yF(x)在[a,a]上是凹的.（2）令xaF(x)af(t)dtxf(t)dt0由f(x

10、)为偶函数，得F(0)0.由F(x)0，得F(x)单调增，从而x0为F(x)在[a,a]上唯一的最小值点，最小值为aaF(0)tf(t)dt2tf(t)d