工程力学第三章new

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1、第三章力矩理论与力偶理论§3-1力矩理论力矩-----度量力对物体产生的转动效应一、力对点的矩---力使物体产生绕某点转动的效应的度量B平面问题中,力对点的矩是代数量OFAAdO:矩心，d：力臂M(F)=±FdO2OAB的面积+-空间问题中,力对点的矩是矢量力F对O点的矩等于力作用点A对O点的矢径r与该力F的矢量积M(F)rFOrxi+yj+zk,FFi+Fj+Fk,xyz矢径r与力F组成力矩平面，力F对O点的矩为矢量，方向为矢积rF的方向0:矩心，d：力臂

2、MO(F)为定位矢量,力对不同矩心的矩不同，力矩矢量只能画在矩心x、y、z为力作用点的坐标上。F、F、F为力的投影xyzM(F)rFOrxi+yj+zk,FFi+Fj+Fk,xyz根据矢量的算法，力矩矢量可表示成如下行列式：ijk展开行列式：M(F）xyz(yFz-zFy)i+(zFx-xFz)joFxFyFz+(xFy-yFx)kM(yF-zF)OxzyM(zF-xF)力矩矢量M(F)在坐标轴上的投影OyxzOM(xF-yF)Ozyx

3、M(F)(yF-zF)i+(zF-xF)j+(xF-yF)kOzyxzyxM(F)的大小：OMO(F)rFsin(r,F)Fd2OAB的面积M(F)的方向：O垂直于O点和力F组成的力矩平面右手法则为正O:矩心，d：力臂二、力对轴的矩——力使物体绕轴转动的效应的度量以门的启闭为例当力F与轴共面时，力对轴之矩为零。力F对轴的矩定义：mz(F)mz(Fz)+mz(Fxy)mO(Fxy)它是代数量mz(F)mO(Fxy)Fxyd2OA'B'的面积7三

4、、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系MO(F)rFMO(F)cosMz(F)Mz(F)即：[MO(F)]zMz(F)xF-yFyx定理：力对点之矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该轴的矩。这就是力对点之矩与该力对通过该点轴之矩的关系力对点O的矩可写成MO(F)rF[MO(F)]xi+[MO(F)]yj+[MO(F)]zkMx(F)i+My(F)j+Mz(F)k8力对点O的矩可写成MO(

5、F)rF[MO(F)]xi+[MO(F)]yj+[MO(F)]zkMx(F)i+My(F)j+Mz(F)kMx(F)(yFz-zFy)My(F)(zFx-xFz)Mz(F)(xFy-yFx)大小M(F)(M(F))2+(M(F))2+(M(F))2OxyzMx(F)My(F)Mz(F)方向cos,cos,cosMO(F)MO(F)MO(F)力对点的矩可利用上式通过计算力对过该点的三个坐标轴之矩来计算。9力对A点的矩矢量如图所示，大小为

6、FaM(F)A力对AB轴的矩为该矩矢量在AB轴上的投影，大小为Fasinf例：求力P对三个坐标轴之矩：法一Mz(P)Mz(Px)+Mz(Py)+Mz(Pz)6Px+(-5Py)+06Pcos45sin60-5Pcos45cos6038.2(Nm)Mx(P)Mx(Px)+Mx(Py)+Mx(Pz)0+0+6Pz6Psin4584.8(Nm)My(P)My(Px)+My(Py)+My(Pz)0+0+5Pz5Psin4570.7(Nm)11法

7、二P力的投影Px-Pcos45sin60,PyPcos45cos60,PzPsin45P力作用点的矢径rxi+yj+zk,x-5cm,y6cm,z0力对三轴之矩：Mz(P)xPy-yPx(-5Py)-6Px-5Pcos45cos60+6Pcos45sin6038.2(Nm)M(P)yP-zPxzy6Psin4584.8(Nm)My(P)zPx-xPz5Psin4570.7(N12m)§3-2力偶理论一、力偶与力偶矩力偶

8、--大小相等方向相反、作用线相互平行的两个力组成的力系，使刚体产生转动效应ArABBdomm(F)+m(F)OOOrF+rFOAOBr(-F)+rFOAOB(r-r)FrFOBOAAB力偶矩矢大小mOFd力偶矩矢方向垂直于力偶作用面，指向符合右手螺旋法则力偶--大小相等方向相反、作用线相互平行的两个力组成的力系ABdrABomrF