柱面坐标系和球面坐标系中的拉普拉斯算符

《柱面坐标系和球面坐标系中的拉普拉斯算符》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第23卷第2期广东教育学院学报2003年5月Vol.23No.2JournalofGuangdongEducationInstituteMay2003柱面坐标系和球面坐标系中的拉普拉斯算符江俊勤(广东教育学院物理系,广东广州510310)摘要:使用多元复合函数微商法则,导出拉普拉斯算符在柱面坐标系和球面坐标系中表达式.关键词:拉普拉斯算符;柱面坐标系;球面坐标系;多元复合函数微商法则中图分类号:O175.25文献标识码:A文章编号:1007-8754(2003)02-0032-03在《电动力学》和《量子力

2、学》等课程中,拉普拉斯算符在柱面坐标系和球面坐标系中的表[1-4][5]示是十分重要的.一般来说,在供物理专业用的数学教材和电动力学课本中,这方面的内容是通过引入“正交曲线坐标系”来介绍的,但由于正交曲线坐标系比较抽象,加上课时所限而常常没能讲授,用一种直观的方式向学生介绍拉普拉斯算符在柱面坐标系和球面坐标系中的表示是有意义的.事实上,采用多元复合函数微商法则就可达到目的,虽然此法在一些量子[6]力学课本中也有提到,但没有给出具体的推导过程.本文给出了用多元复合函数微商法则导出拉普拉斯算符在柱面坐标系和球

3、面坐标系中表达式的全过程,此法直观易懂,建议在物理专业的《矢量分析与场论》和《数学物理方法》等课程的教学中使用.1在柱坐标中的表示222yx,y与ρ,φ的关系为:ρ=x+y,tgφ=(0Fρ<+∞,0FφF2π)或x=ρcosφ,xy=ρsinφ.如图1所示.2为了得到ý在柱坐标系中的表达式,必须求出多元复合函数微商的“链锁法则”,为此先求如下几个量:2229ρx9ρy由ρ=x+y得==cosφ,==sinφ.9xρ9yρy29φy由tgφ=两边对x求偏导得secφ=-2.x9xx9φ1y21所以=-22

4、=-cosφ·tgφ·=9xsecφxx图1-cos2φsinφ·1=-sinφ.cosφρcosφρ29φ21cosφcosφ同理:=cosφ==.9yxρcosφρ因为u=u(ρ,θ,z),ρ=ρ(x,y),θ=θ(x,y),所以把上述关系代入微商链锁关系得9u9r9u9φ9u9usinφ9u=+=cosφ-,(1)9x9x9r9x9φ9ρρ9φ9u9r9u9φ9u9ucosφ9u=+=sinφ+.(2)9y9y9r9y9φ9ρρ9φ注意到ρ,φ是互相独立的,所以收稿日期:2003-01-09作者简介

5、:江俊勤(1962-),男,广东揭阳人,广东教育学院物理系教授,主要从事物理学的教学、格点规范场论、计算机辅助教学和量子光学的研究.第2期江俊勤:柱面坐标系和球面坐标系中的拉普拉斯算符3329u9sinφ99usinφ9u2=cosφ-cosφ-=9x9ρρ9φ9ρρ9φ2222229usinφ9u29usinφ9u2sinφcosφ9ucosφ2+ρ9ρ-ρsinφcosφ9ρ9φ+22+29φ.(3)9ρρ9φρ29u9cosφ99ucosφ9u2=sinφ+sinφ+=9y9ρρ9φ9ρρ9φ222

6、2229ucosφ9u29ucosφ9u2sinφcosφ9usinφ2+ρ9ρ+ρsinφcosφ9ρ9φ+22-29φ.(4)9ρρ9φρ22229u9u9u22把(3)式和(4)式代入ýu=2+2+2,并利用cosφ+sinφ=1和9x9y9z2199u9u19uρ=2+得ρ9ρ9ρ9ρρ9ρ2222229u9u9u199u19u9uýu=2+2+2=ρ9ρρ9ρ+22+2,9x9y9zρ9φ9z即拉普拉斯算符在柱面坐标系中表示为222199u199ý=ρρ+22+2.(5)9ρ9ρρ9φ9z2在球

7、坐标中的表示2222zyx,y,z与r,θ,φ的关系(如图2所示)为r=x+y+z,cosθ=,tgφ=;x=rxrsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosθ,(0Fr<+∞,0FθFπ,0FφF2π).2222由r=x+y+z得9rx9ry9rz==sinθcosφ,==sinθsinφ,==cosθ.9xr9yr9zrz9θ-19r由cosθ=,得(-sinθ)=z2(即两边对x求偏导数).r9xr9x9θ1z9r111所以=2=cosθsinθcosφ=cosθcosφ.9xsinθr

8、9xsinθrr同理:9θ1z9r111图29y=sinθ29y=sinθrcosθsinθsinφ=rcosθsinφ,r9θ1z9r1112sinθ=2-=(cosθ-1)=-.9zsinθr9zrsinθrry29φy由tgφ=两边对x求偏导得secφ=-2.x9xx9φ1y212sinφ1sinφ所以=-22=-cosφtgφ=-cosφ=-.9xsecφxxcosφrsinθcosφrsinθ29φ21cosφcos