球坐标系中拉普拉斯算符表达式的推导new

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1、第27卷第5期唐山师范学院学报2005年9月Vol.27No.5JournalofTangshanTeachersCollegeSep.2005球坐标系中拉普拉斯算符表达式的推导姚久民，石凤良（唐山师范学院物理系，河北唐山063000）摘要：根据直角坐标x、y、z与球坐标r、θ、φ之间的关系，由直角坐标系中拉普拉斯算符的表达式推出球坐标系中拉普拉斯算符的表达式。关键词：偏导数；球坐标系；拉普拉斯算符中图分类号：O413.1文献标识码：A文章编号：1009-9115（2005）05-0067-051引言v∂r∂v∂由直角坐标系中哈密顿算符∇=i+j+k的表达式可推导出拉普拉斯算符∂

2、x∂y∂zv∂r∂v∂v∂r∂v∂∂2∂2∂2∆=(i+j+k)⋅(i+j+k)=++∂x∂y∂z∂x∂y∂z∂x2∂y2∂z2∂1∂1∂但我们却不能根据球坐标系∇=er+eθ+eϕ得出∂rr∂θrsinθ∂ϕ∂1∂1∂∂1∂1∂∂21∂21∂2∆=(er+eθ+eϕ)⋅(er+eθ+eϕ)=2+22+222∂rr∂θrsinθ∂ϕ∂rr∂θrsinθ∂ϕ∂rr∂θrsinθ∂ϕ[1]文献虽给出了正确的推导过程，但不容易理解。本文从拉普拉斯算符在直角坐标系中的表达式推导出它在球坐标系中的表达式。虽然推导过程稍嫌繁琐，但却浅显易懂，适合学生掌握。根据直角坐标和球坐标的坐标关系222

3、2zxx=rsinθcosϕy=rsinθsinϕz=rcosθr=x+y+zcosθ=tgϕ=ry所以r、θ、ϕ是关于x、y、z的函数，即r=r（x、y、z），θ=θ（x、y、z），ϕ=ϕ（x、y、z）。[2]根据微分形式的不变性可知∂∂∂r∂∂θ∂∂ϕ∂∂∂r∂∂θ∂∂ϕ∂∂∂r∂∂θ∂∂ϕ=++,=++,=++∂x∂r∂x∂θ∂x∂ϕ∂x∂y∂r∂y∂θ∂y∂ϕ∂y∂z∂r∂z∂θ∂z∂ϕ∂z∂2∂∂∂∂∂r∂∂θ∂∂ϕ∴=()=(++)∂x2∂x∂x∂x∂r∂x∂θ∂x∂ϕ∂x∂∂∂r∂∂r∂∂∂∂θ∂∂θ∂∂∂∂ϕ∂∂ϕ∂=()+()+()+()+()+()∂x∂r∂x

4、∂x∂x∂r∂x∂θ∂x∂x∂x∂θ∂x∂ϕ∂x∂x∂x∂ϕ∂2r∂∂2θ∂∂2ϕ∂∂∂∂r∂∂∂θ∂∂∂ϕ=+++()+()+()∂x2∂r∂x2∂θ∂x2∂ϕ∂x∂r∂x∂x∂θ∂x∂x∂ϕ∂x∂∂∂∂∂r∂∂∂θ∂∂∂ϕ∂2∂r∂2∂θ∂2∂ϕ()=()+()+()=++∂x∂r∂r∂r∂x∂θ∂r∂x∂ϕ∂r∂x∂r2∂x∂θ∂r∂x∂ϕ∂r∂x∂∂∂∂∂r∂∂∂θ∂∂∂ϕ∂2∂θ∂2∂r∂2∂ϕ()=()+()+()=++∂x∂θ∂r∂θ∂x∂θ∂θ∂x∂ϕ∂θ∂x∂θ2∂x∂r∂θ∂x∂ϕ∂θ∂x──────────收稿日期：2004-08-26作者简介：姚久民（19

5、66-），男，河北丰润人，唐山师范学院物理系实验师。-67-第27卷第5期唐山师范学院学报2005年第5期∂∂∂∂∂r∂∂∂θ∂∂∂ϕ∂2∂ϕ∂2∂r∂2∂θ()=()+()+()=++∂x∂ϕ∂r∂ϕ∂x∂θ∂ϕ∂x∂ϕ∂ϕ∂x∂ϕ2∂x∂r∂ϕ∂x∂θ∂ϕ∂x∂2∂2∂2∂2∂2∂2又因为=，=，=，可得∂θ∂r∂r∂θ∂ϕ∂r∂r∂ϕ∂θ∂ϕ∂ϕ∂θ∂2∂∂2r∂∂2θ∂∂2ϕ∂2∂r∂2∂θ∂2∂ϕ=+++()2+()2+()2∂x2∂r∂x2∂θ∂x2∂ϕ∂x2∂r2∂x∂θ2∂x∂ϕ2∂x∂2∂r∂θ∂2∂r∂ϕ∂2∂θ∂ϕ+2+2+2（1）∂r∂θ∂x∂x∂r∂ϕ∂

6、x∂x∂θ∂ϕ∂x∂x同理可求得∂2∂∂2r∂∂2θ∂∂2ϕ∂2∂r∂2∂θ∂2∂ϕ=+++()2+()2+()2∂y2∂r∂y2∂θ∂y2∂ϕ∂y2∂r2∂y∂θ2∂y∂ϕ2∂y∂2∂r∂θ∂2∂r∂ϕ∂2∂θ∂ϕ+2+2+2（2）∂r∂θ∂y∂y∂r∂ϕ∂y∂y∂θ∂ϕ∂y∂y∂2∂∂2r∂∂2θ∂∂2ϕ∂2∂r∂2∂θ∂2∂ϕ=+++()2+()2+()2∂z2∂r∂z2∂θ∂z2∂ϕ∂z2∂r2∂z∂θ2∂z∂ϕ2∂z∂2∂r∂θ∂2∂r∂ϕ∂2∂θ∂ϕ+2+2+2（3）∂r∂θ∂z∂z∂r∂ϕ∂z∂z∂θ∂ϕ∂z∂z∴式（1）+（2）+（3）得∂2∂2∂2∂∂2r∂2r

7、∂2r∂∂2θ∂2θ∂2θ∂∂2ϕ∂2ϕ∂2ϕ++=(++)+(++)+(++)+∂x2∂y2∂z2∂r∂x2∂y2∂z2∂θ∂x2∂y2∂z2∂ϕ∂x2∂y2∂z2∂2∂r∂r∂r∂2∂θ∂θ∂θ∂2∂ϕ∂ϕ∂ϕ[()2+()2+()2]+[()2+()2+()2]+[()2+()2+()2]+∂r2∂x∂y∂z∂θ2∂x∂y∂z∂ϕ2∂x∂y∂z∂2∂r∂θ∂r∂θ∂r∂θ∂2∂r∂ϕ∂r∂ϕ∂r∂ϕ∂2∂ϕ∂θ∂ϕ2(++)+2(++)+2(+×∂r∂θ∂x∂x∂y∂y∂z