一种特殊各向同性弹塑性本构模型和其算例

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1、http://www.paper.edu.cn一种特殊的各向同性弹塑性本构模型及其算例毛安雄南昌大学建筑工程学院，南昌（330032）E-mail：maoanxiong7209@f163.com摘要:本文利用小变形的Lagrange型有限变形弹塑性本构理论，讨论了一种屈服面是奇异屈服面的弹塑性本构模型。并且推导出该模型的弹塑性有限元计算的所有计算公式。最后利用matlab软件编编制有限元程序计算一个算例，并用ansys工程软件计算进行比对验证。从数据结果的比对，得出了能所提出的这种特殊的各向同性弹塑性本构模型能够描述材料的应力响应。关键词：有限元；小变形；奇异屈服面1.引言[1][2][3]

2、文献中提出的背应力概念及Lagrange型有限变形弹塑性本构理论，文献提出了小变形的Lagrange型弹塑性本构理论，也可应用在小变形情况下的奇异屈服面弹塑性模型。本文首先提出一种简单的各向同性弹塑性模型，屈服面是奇异屈服面。然后用matlab软件编编制有限元程序计算一个算例，最后用ansys工程软件计算进行比对验证。弹塑性问题的有限元求解主要解决两个问题，一是推导出弹塑性问题的全部计算公式，即建立数学模型。二是整理计算公式即计算步骤编制有限元程序。本文的主要任务是整理计算公式、编制程序和算例分析。2.本构模型[3]Dijkl首先讨论一种各向同性弹塑性本构模型，它的弹性常数不变化。设应力势函

3、数为122pppϕεε()ij−=ijλ()tr()εεij−+ijµεεtr()ij−ij（2.1）2弹性本构关系为00∂ϕppσij=+=+−σσijijλ()()εkkεkkδklδkl+2µεij−εij(2.2)∂εij假设屈服函数为Tresca屈服面的强化函数gD=−ijklmax({}εεεεεεσε121323),(−),(−)−s(p)≤0(2.3)其中σ是现时的弹塑性应力，它是等效塑性应变的ε的函数，sp12ppε==ddεε()dε2(2.4)p∫∫pijij3由一致性条件，可得∂gdσspddεε−=0(2.5)ij∂εdεpij[4]σs()εp可从材料的单轴拉伸试

4、验σ−ε曲线得到，定义pdσsE=(2.6)pdε-1-http://www.paper.edu.cnpE为材料塑性模量。因为12ppddεε=()dε2(2.7)pijij3假设遵循Il’yushin’s公设，则12∂∂ggddελ=()2(2.8)p3∂∂εεijij代入一致性条件，可得塑性流动律∂g∂εijddλ=ε(2.9)1ij2∂∂ggE()2p3∂∂εεijij由Il’yushin’s公设推出的背应力的演化律为0p∂gg∂dDσ=−dεβdε(2.10)ijijklijij∂∂εεijij由式（2.2）两边求导，可得本构方程p∂gg∂dσ＝Ddε+−Ddεβdε(2.11)ij

5、ijklijijklijij∂∂εεijij其次为了便于数值计算，可以将上述各式写成如下矩阵形式ep{dDDσ}=−⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦{dε}(2.12)⎡∂∂gg⎤⎡⎤e⎡⎤D⎢⎥⎢⎥⎣⎦p⎡⎤∂∂gg⎡⎤⎢⎣∂∂εij⎥⎢⎦⎣εij⎥⎦⎡⎤D=−β⎢⎥⎢⎥(2.13)⎣⎦⎢⎥∂∂εε⎢⎥⎡2∂∂gg1⎤⎣⎦ij⎣⎦ijE()2p⎢⎥⎢3∂∂εε⎥⎣ijij⎦因为⎡⎤∂∂gf⎡⎤e⎢⎥=⎡⎤D⎢⎥⎣⎦⎢⎥∂∂ε⎢⎥σ⎣⎦ij⎣⎦ij所以塑性矩阵为：T⎡⎤∂∂ff⎡⎤eeT⎡⎣DD⎤⎡⎦⎣⎢⎥⎢⎥⎤⎦pe⎡⎤∂∂ff⎡⎤e⎢⎥⎣⎦∂∂σσij⎢⎥⎣⎦ij⎡⎤⎡⎤DD=−β⎢⎥⎢⎥⎡⎤D

6、（2.14）⎣⎦⎣⎦⎢⎥∂∂σσ⎢⎥⎣⎦⎡2∂∂ff1⎤⎣⎦ij⎣⎦ijE()2p⎢⎥⎢3∂∂σσ⎥⎣ijij⎦⎡⎤∂f在塑性矩阵中，主要是⎢⎥流动矢量的计算较为复杂，为具体数值计算的需要，可将其⎢⎥∂σ⎣⎦ij显式求出。Tresca屈服面的强化函数可表示为-2-http://www.paper.edu.cnπfJ()2,θσσσ=+2sJ2in()θ−sp()ε=0（2.15）3由微分法则，得⎡⎤∂∂ff⎡⎤⎡⎤∂J2⎡⎤∂f⎡⎤∂J3⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∂∂σij⎢⎥⎣⎦∂J2⎢⎥⎣⎦σσij⎣⎦∂J3⎢⎥⎣⎦∂ij经推导可得⎡⎤∂f⎢⎥=⎢⎥∂σ⎣⎦ijsinθθθ++3c

7、oscos3(cosθθ−3sin)Tσσσσσ⎡⎤sss,,,2τττ,2,2⎣xyzxyyzzx⎦2J22⎡ss−+τJ/3⎤yxyz2⎢2⎥ss−+τJ/3⎢zxzx2⎥⎢ss−+τ2J/3⎥xyxy23(3sinθθ−cos)⎢⎥σσ+（2.16）2sJin3θ⎢2()ττyzzx−szxyτ⎥2σ⎢⎥⎢2()ττxyzx−sxτyz⎥⎢⎥⎢⎣2()ττxyyz−syzxτ⎥⎦3.小变形弹塑性问题的有