高中奥林匹克物理竞赛解题方法+14近似法

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1、高中奥林匹克物理竞赛解题方法十四、近似法方法简介近似法是在观察物理现象、进行物理实验、建立物理模型、推导物理规律和求解物理问题时，为了分析认识所研究问题的本质属性，往往突出实际问题的主要方面，忽略某些次要因素，进行近似处理.在求解物理问题时，采用近似处理的手段简化求解过程的方法叫近似法.近似法是研究物理问题的基本思想方法之一，具有广泛的应用.善于对实际问题进行合理的近似处理，是从事创造性研究的重要能力之一.纵观近几年的物理竞赛试题和高考试题，越来越多地注重这种能力的考查.赛题精讲例1：一只狐狸以不变的速度υ沿着直线AB逃跑，一只猎犬1以不变的

2、速率υ追击，其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F处，2猎犬在D处，FD⊥AB，且FD=L，如图14—1所示，求猎犬的加速度的大小.解析：猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变，图14—12υ2故猎犬做匀速率曲线运动，根据向心加速度a=,r为猎r犬所在处的曲率半径，因为r不断变化，故猎犬的加速度的大小、方向都在不断变化，题目要求猎犬在D处的加速度大小，由于υ大小不变，如果求出D点的曲率半径，2图14—2—甲此时猎犬的加速度大小也就求得了.猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和方向都在不断改变.在所求时刻开始的一段很短的时间Δt内，猎犬运动的

3、轨迹可近似看做是一段圆弧，设其半径为R，则加速度2υ2a=R其方向与速度方向垂直，如图14—1—甲所示.在Δt时间内，设狐狸与猎犬分别到达F′与D′，猎犬的速度方向转过的角度为α=υΔt/R2而狐狸跑过的距离是：υΔt≈αL因而υΔt/R≈υΔt/L，R=Lυ/υ12121-1-2υ2所以猎犬的加速度大小为a==υυ/L12R例2如图14—2所示，岸高为h，人用绳经滑轮拉船靠岸，若当绳与水平方向为θ时，收绳速率为υ，则该位置船的速率为多大？图14—2图14—2—甲解析要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间求它的平均速率，当

4、这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率.设船在θ角位置经Δt时间向左行驶Δx距离，滑轮右侧的绳长缩短ΔL，如图14—2—甲所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC可近似看做是一直角三角形，因而有ΔL=ΔxcosθΔLΔx两边同除以Δt得：=cosθ，即收绳速率υ=υcosθ船ΔtΔtυ因此船的速率为υ=船cosθ例3如图14—3所示，半径为R，质量为m的圆形绳圈，以角速率ω绕中心轴O在光滑水平面上匀速转动时，绳中的张力为多大？图14—3解析取绳上一小段来研究，当此段弧长对应的圆心角Δθ很小时，有近似关系式Δθ≈sinΔθ.若取绳圈

5、上很短的一小段绳AB=ΔL为研究对象，设这段绳所对应的圆心角为Δθ，这段绳两端所受的张力分别为T和T（方向见图14—3—甲），因为绳圈匀速转动，无切向加AB速度，所以T和T的大小相等，均等于T.T和T在半径方向上的合力提供这一段绳做匀ABABΔθ2速圆周运动的向心力，设这段绳子的质量为Δm，根据牛顿第二定律有：2Tsin=ΔmωR；2ΔθΔθ因为ΔL段很短，它所对应的圆心角Δθ很小所以sin=22mmΔθ将此近似关系和Δm=R⋅Δθ⋅=2πR2π2mωR代入上式得绳中的张力为T=2π图—14—3—甲-2-例4在某铅垂面上有一固定的光滑直角三角

6、形细管轨道ABC，光滑小球从顶点A处沿斜边轨道自静止出发自由地滑到端点C处所需时间，恰好等于小球从顶点A处自静止出发自由地经两直角边轨道滑到端点C处所需的时间.这里假设铅垂轨道AB与水平轨道BC的交接处B有极小的圆弧，可确保小球无碰撞的拐弯，且拐弯时间可忽略不计.在此直角三角形范围内可构建一系列如图14—4中虚线所示的光滑轨道，每一轨道是由若干铅垂线轨道与水平轨道交接而成，交接处都有极小圆弧（作用同上），轨道均从A点出发到C点终止，且不越出该直角三角形的边界，试求小球在各条轨道中，由静止出发自由地从A点滑行到C点所经时间的上限与下限之比值.解

7、析直角三角形AB、BC、CA三边的长分别记为l、l、l，如图14—4—甲所示，小球从A到B的时间123记为T，再从B到C的时间为T，而从A直接沿斜边到C12所经历的时间记为T，由题意知T+T=T，可得l：l：l=3：4：5，3123123由此能得T与T的关系.1212因为l=gTl=gTT111122lT11所以=l2T222因为l：l=3：4，所以T=T12213小球在图14—4—乙中每一虚线所示的轨道中，经各垂直线段所需时间之和为t=T，11经各水平段所需时间之和记为t，则从A到C所经时间总和为t=T+t，最短的t对应t的2122下限t，

8、最长的t对应t的上限t.min2max小球在各水平段内的运动分别为匀速运动，同一水平段路程放在低处运动速度大，所需时间短，因此，所有水平段均处在最低位置（即与BC重