微分方程在rlc电路中的应用实践new

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1、微分方程在RLC电路中的应用微分方程在RLC电路中的应用AbstractTherelationshipofRLCcircuitanddifferentialequationhasbeendiscussed.ThispapergivestwotraditionalexamplesoftheresolutionoftheRLCcircuit.ThepicturesdrawnbyMatlabforthesolutionofthedifferentialequationarealsocontainedin

2、thispaper.关键词：RLC电路、微分方程、Matlab一、RLC电路与二阶微分方程RLC电路是一种由电阻（R）、电感（L）、电容（C）组成的电路结构。RC电路是其简单的例子，它一般被称为二阶电路，因为电路中的电压或者电流的值，通常是某个由电路结构决定其参数的二阶微分方程的解。电路元件都被视为线性元件的时候，一个RLC电路可以被视作电子谐波振荡器。这种电路的固有频率一般表示为：（单位：赫兹Hz）1??=2?√??它是一种带通或带阻滤波器的形式，其Q值可以由下式得到：??2????1Q===?

3、??√?2?/?RLC电路的组成结构一般有两种：串联型和并联型。由于RLC电路通常是由电路结构决定其参数的二阶微分方程，因而完全可以用解微分方程的方法来求解RLC电路中的各种问题。二、应用举例例1设有一个由电阻R，电感L，电容C和电源E串联组成的电路（简称R-L-C串联电路），其中R、L、C为常数，电源电动势是?=???????，这里E及ω也是常数（图2.1）。求出R-L-C串联电路中电容C上的电压??(?)所满足的微分方程。1微分方程在RLC电路中的应用解：设电路中的电流为?(?)，电容器所带的

4、电量为Q(?)，自感电动势为??(?)。由电学知识可知：图2.1RLC串联电路??????=,??=,??=−??????因而在R-L-C电路中各元件的电压降分别为：?=??=???′?????=????=−?=?=???′′{?????根据基尔霍夫电压定律电压定律，得??+??+??=?，将上述方程组代入该式，得：???′′+???′+?=????即?1???′′+?′+?=?????????????这就是串联电路中电容C上的电压??(?)所满足的微分方程。如果电容C经充电后，撤去外接电源（即E

5、=0），则上式成为：?1?′′+?′+?=0??????例2在如图2.2所示的电路中，先将开关K拨向A，使电容充电，当达到稳定状态后再将开关拨向B。设开关K拨向A的时间?>0时回路中的电流?(?)。已??25知E=20伏，C=0.5F，L=1.6H，R=4.8Ω；且?

6、?=0=0，

7、?=0=。??2解：在电路R-L-C中各元件的电压降分别为：??=?????=?????=−??=?{??根据基尔霍夫电压定律，得：??+??+??=?图2.2RLC暂态电路??1将上述各式代入，得：?+??+?=??

8、??2微分方程在RLC电路中的应用??在上式两边对t求导，因为?=，???2???1因此，得：?+?+?=0，??2????2????1即++?=0??2?????将R=4.8，L=1.6，C=0.5代入，得：?2???5+3+?=0??2??4上述方程的特征方程为：5?2+3?+=0451特征根为：?1=−?2=−。2251−?−?所以上述方程的通解为?=?1?2+?2?2。为求得满足初始条件的特解，求导数得：5511′−?−??=−?1?2−?2?222??25将初始条件?

9、?=0=0，

10、?=

11、0=代入，得：??2?1+?2=0{5125?1+?2=−2222525解得：?1=−?2=因此得回路电流为：44255251−?−??=−?2+?244图2.3为电流i的图象．当开关K拨向B后，这回路中的反向电流i，先由0开始逐渐增大，达到最大值后又逐渐趋于零。图2.3电流图3微分方程在RLC电路中的应用三、小结例1是将一个具体的RLC问题建立了微分方程数学模型，而例2中不仅建立了微分方程数学模型，还把微分方程的特解求了出来。在利用微分方程寻求实际问题中未知函数的三个步骤中，关键是第一个步骤，即

12、根据实际问题建立微分方程，确定初始条件。而建立微分方程的方法，主要是利用导数的几何意义或物理意义直接列出方程。然后求出所列微分方程的通解，并根据初始条件确定出符合实际情况的特解。由上述例子和分析可知，微分方程在RLC电路的求解中可以发挥重要的作用，对于一些复杂度不高的RLC电路可以通过求解微分方程求出其所求值的具体表达形式。参考文献[1]李瑞遐.应用微分方程.上海.华东理工大学出版社，2005年[2]秦曾煌.电工学（上册）.第六版.北京.高等教育出版社，2004年4