第2章 数学建模简介

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1、第二章第二章数学与现实世界数学与现实世界一.从现实世界到数学模型数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁数学模型是对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出必要的简化假设，运用适当的数学工具建立的一个数学结构。电子科技大学1/12例例2.12.1渡口模型渡口模型一个渡口的渡船营运者拥有一只甲板长32米，可以并排停放两列车辆的渡船。他在考虑怎样在甲板上安排过河车辆的位置，才能安全地运过最多数量的车辆。分析：怎样安排过河车辆，关心一次可以运多少辆各类车。电子科技大学2/12准备工作：观察数日，发现每

2、次情况不尽相同，得到下列数据和情况：（1）车辆随机到达，形成一个等待上船的车列；（2）来到车辆中，轿车约占40％，卡车约占55％，摩托车约占5％；（3）轿车车身长为3.5～5.5米，卡车车身长为8～10米。这是一个机理较复杂的随机问题，是遵循“先到先服务”的随机排队问题。解决方法：采用模拟模型方法。分析：需考虑以下问题：电子科技大学3/12（1）应该怎样安排摩托车？（2）下一辆到达的车是什么类型？（3）怎样描述一辆车的车身长度？（4）如何安排到达车辆加入甲板上两列车队中的哪一列中去？问题的解决：（1）认为摩托车不会占有实

3、际空间。（2）确定即将到达车辆类型，利用随机模拟方法卡车轿车摩托车00.550.951电子科技大学4/12（2）确定随机到达车辆的身长车。汽车类型及车身长模拟原理分析（3）关于车辆的排放。甲板可停放两列汽车，可供停车的总长为32×2=64米排放原则：两列尽可能均衡。（怎样实现？）结果分析：由一组特定随机数确定车型和车身长度，仅得到一个解答。将一组随机数模拟确定的结果，看成对一次实际运载情况的“观察”，少数几次观察是无意义的。需多次重复模拟，再进行统计分析电子科技大学5/12例例2.22.2人口增长模型人口增长模型据人口学

4、家们预测，到2033年，世界人口将突破100亿，每年增加近1亿人口，以后还会迅猛增长。人们开始考虑，我们赖以生存的地球究竟是否能承受如此的增长。现建立数学模型来预测人口的增长。分析设任意时刻的人口总数为N（t），影响一个地区总人口数的最显著的因素应包括哪些？电子科技大学6/12影响因素影响因素个体迁年性的入龄别出�结生迁构比……例�出死亡电子科技大学7/12现仅考虑出生和死亡对人口数的影响。在时间段∆t内，出生和死亡人口数的变化将依赖于以下因素：1.时间间隔∆t的长短；建模过程2.时间间隔开始时的人口基数。1dN=b−d

5、Ndt模型分析等式左端（以及右端）可以理解为“相对增长率”对相对增长率做不同的假设可以建立不同的数学模型，并得到不同的解曲线。电子科技大学8/12不同假设1.假设净相对增长率r=b−d是常数，得到Malthus模型：N（t）=Nert,t≥00模型分析假若净增长率r>0，人口的预测值将以er为公比按几何级数无限增长。不太符合实际，原因是假设过于简单。模型改进得到Logistic模型：电子科技大学9/12rtNKe0KN(t)==K+N(ert−1)1+(K−1)e−rt0N0模型分析1.若r<0,随着t,→∞则有N(t)

6、→0;2.若r>0时,对N的任意值，当t→∞时均有0N(t)→K;3.若r=0时N(t)=N。0思考请绘出Logistic曲线图，分析曲线特征，据此讨论：1.Logistic模型具有哪些特点？2.比较两个人口模型的优缺点。电子科技大学10/12建模三问建模三问模模型建模方法建模方法分分类类建模步骤建模步骤电子科技大学11/12数学建模是一门“艺术”要获取这门艺术的真谛和内涵极富挑战性！！！四．练习四．练习投资模型电子科技大学12/12