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1、实验三图像的频域处理一、实验目的1、理解离散傅立叶变换的基本原理；2、掌握应用MATLAB语言进行FFT及逆变换的方法；3、熟悉图像在频域中处理方法，应用MATLAB语言作简单的低通滤波器。二、实验原理1、傅立叶变换的基本知识在图像处理的广泛应用领域中，傅立叶变换起着非常重要的作用，具体表现在包括图像分析、图像增强及图像压缩等方面。假设f（x,y）是一个离散空间中的二维函数，则该函数的二维傅立叶变换的定义如下：MN−−11−−j(2/ππMpm)j(2/Nqn)Fpq(,)=∑∑fmne(,)ep=0,1…M-1q=0,1…N-1(3.1)mn==0
2、0MN−−11或Ff(,)ωω=∑∑(,)mne−−jmjnωω1e2p=0,1…M-1q=0,1…N-1（3.2）12mn==01离散傅立叶反变换的定义如下：MN−−111j(2/ππMpm)j(2/Nqn)fmn(,)=∑∑Fpqe(,)em=0,1…M-1n=0,1…N-1(6.3)MNpq==00F（p,q）称为f（m,n）的离散傅立叶变换系数。这个式子表明，函数f（m,n）可以用无数个不同频率的复指数信号和表示，而在频率（w1，w2）处的复指数信号的幅度和相位是F（w1，w2）。例如，函数f（m,n）在一个矩形区域内函数值为1，而在其他区域
3、为0，如图所示。了简便起见，假设f（m,n）为一个连续函数，则f（m,n）的傅立叶变换的幅度值（即-20-F(,)ωω）显示为网格图，如图所示。12将傅立叶变换的结果进行可视化的另一种方法是用图像的方式显示变换结果的对数幅值logF(ω,ω)，如图所示。12几种简单函数的傅立叶变换的频谱可以直观的表示为图所示的样子。-21-2、MATLAB提供的快速傅立叶变换函数（1）fft2fft2函数用于计算二维快速傅立叶变换，其语法格式为：B=fft2(I)B=fft2(I)返回图像I的二维fft变换矩阵，输入图像I和输出图像B大小相同。例如，计算图像的二维傅
4、立叶变换，并显示其幅值的结果，如图所示，其命令格式如下loadimdemossaturn2imshow(saturn2)B=fftshift(fft2(saturn2));imshow(log(1+abs(B)),[])（2）fftshiftMATLAB提供的fftshift函数用于将变换后的图像频谱中心从矩阵的原点移到矩阵的中心，其语法格式为：B=fftshift(I)对于矩阵I，B=fftshift(I)将I的一、三象限和二、四象限进行互换。（3）ifft2ifft2函数用于计算图像的二维傅立叶反变换，其语法格式为：B=ifft2(I)B=iff
5、tn(I)返回图像I的二维傅立叶反变换矩阵，输入图像I和输出图像B大小相同。其语法格式含义与fft2函数的语法格式相同，可以参考fft2函数的说明。3、简单低通滤波器的设计一个图像经过傅立叶变换后，就从空域变到了频域，因此我们可以用信号处理中对于频域信号的处理方法对一幅图像进行处理。比如对图像进行低通滤波等。一个二维的理想低通滤波器（ILPF），它的传递函数由下式确定：⎧1若D(u,v)≤D0H(u,v)=⎨（6.4）0若D(u,v)>D⎩0式中D0是一个规定的非负的量，称为截止频率，虽然在计算机中必定能够模拟一个锐截止频率的理想低通滤波器，但它们不
6、能用电子元件来实现。实际中比较常用的低通滤波器有：巴特沃思（Butterworth）滤波器、指数滤波器（ELPF）、梯形低通滤波器等。在实验中我们设计一个理想的低通滤波器。-22-设计理想的低通滤波器由其定义可知只要设计一个与频域图像大小完全相同的矩阵。在某一个域值内该矩阵的值为1，其余为0即可。例：若图像的大小为256*256，则可以这样设计一个低通滤波器：H=zeros(256);H(97:160,97:160)=1;%此处的范围是人为取定的，可以根据需要更改。若图像矩阵I的傅立叶变换是B(已经用fftshift将频谱中心移至矩阵的中心)，则对这
7、幅图像做低通滤波，再做傅立叶逆变换命令为LOWPASS=B.*H;%此处变换后的矩阵为LOWPASS，另注意这儿是矩阵的点乘。C=ifft2(LOWPASS);imshow(abs(C)，[])4、注意事项1、为避免折叠误差的干扰，进行DFT滤波前应对图像进行填充（paddedsize）。2、滤波函数与图像的傅立叶谱需对齐（fftshift）。3、滤波结果的反傅立叶变换取实部或绝对值，并将结果修剪为原图像大小。三、实验要求1、读取图像A和B，显示这两幅图像，对图像作傅立叶变换，显示频域振幅图像。作傅立叶逆变换，显示图像，看是否与原图像相同。2、设计一
8、个简单的巴特沃斯低通滤波器（截止频率自选），对图像A作频域低通滤波，再作反变换，观察两种不同的截止频率下反变
