正态分布下的累积概率

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1、正态分布3.1正态分布对于连续型随机变量而言，正态分布(normaldistribution)是最重要的一种概率分布。经验表明：对于依赖于众多微小因素；且每一因素均产生微小的或正或负影响的连续型随机变量来说，正态分布是一个相当好的描述模型。如人的体重，因为遗传、骨骼结构、饮食、锻炼、等都对人的体重有影响，但又没有一种因素起到压到一切的主导作用。与此相类似，人的身高、考试分数等都近似地服从正态分布。通常用：X～N(u,)(3-1)表示随机变量X服从正态分布。N表示正态分布，括号内的参数u,称为正态分布的总体均值(或期望)和方差。3.1.1正态分布的性质(1)正态分布曲

2、线以均值u为中心，对称分布。(2)正态分布的概率密度函数呈中间高、两边低，在均值u处达到最高，向两边逐渐降13低，即随机变量在远离均值处取值的概率逐渐变小。(3)正态曲线下的面积约有68%位于u±两值之间；约有95%的面积位于u±2之间；而约有99.7%的面积位于u±3之间。★(4)两个(或多个)正态分布随机变量的线性组合仍服从正态分布。令X和Y相互独立：X～N(uX，)Y～N(uY，)现在考虑两个变量的线性组合：W＝aX+bY则W～N(uW，)(3-2)其中，uW=(auX＋buY)(3-3)=(+)(3-4)例3.1令X表示在下沙高教区一花店每日出售玫瑰花数量，

3、Y表示在下沙镇一花店每日出售玫瑰花的数量，假定X和Y服从正态分布，且相互独立，并有：X～N(100，64)，Y～N(150，81)求两天内两花商出售玫瑰花数量的期望及方差？W＝2X＋2Y根据式(3-3)E(w)＝E(2X+2Y)=500，Var(w)=4var(X)+4var(Y)=580因此，W服从均值为500，方差为580的正态分布，即W～N(500，580)。★★3.1.2标准正态分布两个正态分布可能因为期望或方差的不同，或是期望和方差均不同而相区别。如何比较各种不同的正态分布呢？13定义一个新的变量Z：如果变量X的均值为u，方差为，则根据式(3-4)，变量Z

4、的均值为0，方差为1。称之为标准正态变量(standardnormalvariable)。即若X～N(u，)，那么变量Z就是标准正态变量，用符号表示为：Z～N(0，1)(3-5)证明：（1）均值为0因为有E(aX+b)=aE(X)+b，所以（2）方差为1因为有var(aX+b)=a2var(X)，所以图3-3a和3-3b分别给出标准正态分布的概率密度函数和累积分布函数。13例3.2变量x表示花房每日出售的玫瑰花量，假定它服从均值为70、方差为9的正态分布，即X～N(70，9)，求任给一天，出售玫瑰花数量大于75支的概率。服从标准正态分布，求P(Z>1.67)。从附录

5、表可知，Z位于区间(0,1.3)的概率为0.4032，位于(0，2.5)的概率为0.4938。由正态分布的对称性可知，Z位于区间(-1.3,0)的概率也为0.4032，位于(-2.5,0)的概率为0.4938。由于这种对称性，在标准正态分布表中一般仅给出Z取正值的情形。也就是说，标准正态密度函数，在Z=0的左右面积均为0.5，整个面积(或概率)为1。根据正态分布表得：P(0≤Z≤1.67)=0.4525因此，P(Z>1.67)=0.5000－0.4257=0.0475即每天出售玫瑰花的数量超过75支的概率为0.0475。(参见图3-3a)13例3.3继续例3.2,现

6、假定要求每天出售玫瑰花数量小于或等于75支的概率。概率为：0.5000+0.4525=0.9525(见图3-3b)。例3.4求每天出售玫瑰花数量在在65与75支之间的概率。查表得，P(－1.67≤Z≤0)=0.4525P(0≤Z≤1.67)=0.4525由正态分布的对称性得到，P(－1.67≤Z≤1.67)=0.9050即每天出售面包的数量介于65条与75条之间的概率约为90.5%(见图3-3a)。上面的例子表明：一旦知道某一正态变量的期望与方差，先将其转化为标准正态变量，然后根据正态分布表求得相应的概率。★★3.2样本均值的抽样分布或概率分布样本均值是总体均值的估

7、计量，但由于样本均值是依据某一给定样本而定，因此其值也会因随机样本的不同而变化。也就是说，样本均值也是随机变量，并且有其自己的概率分布函数。称X1，X2，⋯⋯，Xn构成一个容量为n的独立同分布随机变量(independentlyandidenticallydistributedrandomvariables,i.i.d.randomvariables)，即所有的X是从同一概率密度(即每个Xi有相同的概率密度函数)中独立抽取得到的。如果Xi~N(u，)且每个Xi独立抽取得到，则称X1，X2，⋯⋯，Xn是i.i.d.随机变量，正态概率密度函数是其共同的概率密度。估计