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《北京交通大学2011年非数学专业大学生数学竞赛试题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、北京交通大学2011年非数学专业大学生数学竞赛试题（2011年6月18日晚7：00—9：30）学院与班级学号姓名联系方式一．填空题（每小题3分，满分30分）n⎛⎞nn234++n1．极限lim⎜⎟=。n→+∞⎜⎟3⎝⎠2．设zfx=(,())ygx，函数f具有二阶连续偏导数，函数gx()可导且在x=1处取得极值2∂zg(1)=1，则==。∂∂xyx=1y=12323．函数f()(xxxxxx=−+−+56)32的不可导点的个数为。44．∫x(xxxxd−−−−1)(2)(3)(4)x=。022xy5．求平面力场Fxy(,)=−+yxij使质点P沿椭圆
2、+=1按逆时针方向运动一周所做22ab的功W=。α20116．设C()α为(1+x)在x=0处幂级数展开式中x的系数，则积分1⎛⎞111∫Cy(1−−)⎜⎟+++?dy=。⎝⎠yy++12y+201103ydtdydy7．设x=，则−=2。∫02dx3dx12+tn⎡⎤⎛⎞1ln⎢⎥⎜⎟1++()n1∞⎢⎥⎣⎦⎝⎠n8．∑=。nn+1n=2ln()nn⎡⎤ln()+1⎣⎦22−x9．求以yCCxxe=++()（其中CC,为任意常数）为通解的微分方程1212=。xx10．设可微函数yfx=()满足方程∫∫f()tdtx=+tfxtdt(−)，则f()x
3、=。00二．（本题满分10分）设函数yx()具有二阶导数，且曲线lyyx:(=)与直线yx=相切于ddαy原点，记α为曲线l在点(,)xy外切线的倾角，若=，求y()x的表达式。dxdx三．（本题满分10分）设函数f()x在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，⎛⎞1fff(0)==(1)0,⎜⎟=1，求证：对任意的实数λ，必存在ξ∈(0,1)使得⎝⎠2ff′()ξλξξ−−()()=1。21n四．（本题满分10分）若f()x是实数集上无穷次可微的函数，又f()=，2nn+1()kn=1,2,3?,计算fk(0)(=1,2,3)?的值。五．（本题满分
4、10分）已知函数f(,)xy具有二阶连续偏导数，且fy(1,)==0,(,1)fx0，∫∫f(,)xydxdy=a，其中Dx={(,)
5、0yx≤≤≤≤1,0y1}，计算二重积分Dxyf′′(,)xydxdy。∫∫xyD2222六．（本题满分10分）由曲面zx=−−2y和zxy=+所围成的立体Ω，其密度为1，求Ω绕直线lxyz:==的转动惯量。xxx223n七．（本题满分10分）求函数ux=+++++?(x>=0,in1,2,?,)的极值。1ixxxx12nn−1八．（本题满分10分）设函数f()x在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内具有二阶
6、导数，1n1且fx′′()0>，证明：∫fxdxf()≥()，n为正整数。n+10参考答案：nnn()21−+−+()31(41−)ln24一、1．解：记α=，则limnα=，nn3n→+∞3nnnnn⎛⎞nn−+−+n−⎛⎞234++(21)(31)(41)lim⎜⎟=+lim1⎜⎟nn→+∞⎜⎟33→+∞⎜⎟⎝⎠⎝⎠1nαnln24⎡⎤33=+=lim⎢⎥()1αnαne=24。n→+∞⎣⎦2．注意到gx()可导且在x=1处取得极值，故g′(1)=0，2∂∂zz=+fyfgx12′′′(),=++fxyf11′′′12xfgx′′1′()x=1=
7、f1′(1,1)+f1′′1(1,1)。∂∂xx∂yy=12323．令ux()=−+x56,()xvx=−+x3x2x，则ux()处处可导，而vx()在0,1,2处不可导，因此f()x只可能在0,1,2处不可导，经验证：f()x在x=2处可导，而f()x在x=0,1处不可导。故应填2。22224．解：令x−=2t，则原式=∫∫(2+t)(1+−−=−−=ttt)(1)(t2)dttt(1)(t4)dt0。−−225．解：利用格林公式得2πab。α20116．解：(1+x)在x=0处幂级数展开式中x的系数为α(αα−−1)(2)?(α−2010)C()
8、α=。2011!(−yy−−−1)(2)??(−−y2011)(yyy++1)(2)(+2011)于是Cy(1−−=)=，2011!2011!故11dyy⎡⎤(++1)(2)??(y+2011)(yy++1)(2)(y+2011)I==∫⎢⎥=201212011−=。0dy⎣⎦2011!2011!0ydtdx17．解：将x=∫对y微分得到=，因此012+t2dy12+y223dy2dy2'yydy2=+12y，==2y，==+2'212yy，dxdx2y2dx312+3dydy简单计算可得−20=。3dxdxn⎡⎤⎛⎞1ln1⎢⎥⎜⎟++()n11∞
9、∞∞⎢⎥⎣⎦⎝⎠nnnln(1+++n)ln(1)nnln(1+)−++nlnnnln(1)8．解：∑∑∑=
