北京交通大学2013年非数学专业大学生数学竞赛试题及解答

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1、北京交通大学2013年非数学专业大学生数学竞赛试题（2013年6月22日晚7：00—9：30）学院与班级学号姓名联系方式一、填空题（每小题5分，满分30分）2x−cosx−e21．极限lim=。x→0x2[2x+ln(1−2x)]22∂u∂u22．设函数u(x,y)的所有二阶偏导数都连续，=且u(x,2x)=x，uxxx′(,2)=，221∂x∂y则uxx′′(2)，=。113．设fx()在x=0的某个邻域内具有二阶导数，fff(0)1,=′(0)=0,′′(0)=−1，对xa∀∈−∞+∞a(,)，求limf=。x→+∞x−x+∞xe4．计算定积分

2、dx=。∫0(−x)21+e∞15．∑2n=。n=2(n−1)2y(x+y)ln(1+)x6．计算∫∫dxdy=____________，其中区域D由直线x+y=1与D1−x−y两坐标轴所围成三角形区域.二、（本题满分10分）设函数f(x)具有二阶连续导函数，且f(0)=0,f′(0)=0,f′′(0)>0。在曲线y=f(x)上任意取一点(x,f(x))(x≠0)作曲线的切线，此切线在x轴上的截距记作xf(µ)µ，求lim。x→0µf(x)−ydx+xdy三．（本题满分10分）计算I=∫，其中L为x+x+y=1正向一周。Lx+x+y2四、（本题满分10分）计算曲面积分I=

3、∫∫xzdydz−sinxdxdy，其中Σ是曲线Σy=1+z2(1≤z≤2)绕z轴旋转而成的旋转面，其法线向量与z轴正向的夹角为锐x=0角。22xy2五、（本题满分10分）设S为椭球面++z=1的上半部分，点P(x,y,z)∈S，π为223S在点P处的切平面，ρ(x,y,z)为点O(0,0,0)到平面π的距离，求∫∫zρ(,,)xyzdS。S1−−11t2六、（本题满分10分）设Fx()=−++−(1e)∫xtedt，试证明在区间[−1,1]上F(x)2−1有且仅有两个实根。b七、（本题满分10分）设正值函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，∫f(x)dx=A，

4、证明：abb1f(x)∫f(x)edx∫dx≥(b−a)(b−a+A)。aaf(x)八、（本题10分）设fx()是在(−∞+∞,)内的可微函数，且f′(x)

5、xx4−1−++o(x)−1−++o(x)cosx−e22!4!28lim=limx→0x2[2x+ln(1−2x)]x→0x2[2x−2x−2x2+o(x2)]144−x+o(x)121=lim=。x→0−2x4+o(x4)242．解：u(x,2x)=x两边对x求导，得到u'(x,2x)+2u'(x,2x)=1。12221−x代入u'(x,2x)=x，求得u'(x,2x)=，1222u'(x,2x)=x两边对x求导，得到u''(x,2x)+2u''(x,2x)=2x，1111221−xu'(x,2x)=两边对x求导，得到u''(x,2x)+2u''(x,2x)

6、=−x。22122222∂u∂u以上两式与已知=联立，又二阶导数连续，所以u''=u''，故221221∂x∂y4u''(x，2x)=−x。113xaaxfln13．解：因为x，故令fe=x=，则t→+0，于是xtafat′()xalnfat()limaxlim→+∞xflntlim→+t→+02tfat()limfeee=x=0t=x→+∞xafat′()a2fatf′′()−(0)aa22limlimf′′(0)−tt→+0020t2→+at−22=e=e=ee=。4．解：−xx+∞xe+∞xe+

7、∞−1x+∞+∞1dx=dx=xd=−+dx∫0(1e−x)2∫0(1ex)2∫01+ex1+ex0∫01+ex+++∞1=dx∫01+exx1令e=t，则dx=dt，于是t−x+∞xe+∞1+∞11t+∞∫02dx=∫1dt=∫1−dt=ln=ln2(1+e−x)t(1+t)tt+11+t1∞∞1n111n5．解：设Sx()=∑2x=∑−x，其中n=2n−1n=2211nn−+∞∞∞nnn−1∞∞∞nnn+1xxxxxx11∑∑∑=xx=，∑∑∑==(x≠0)；nnn=221nnn−−11