2011年考研数学微积分基础班1(刘坤林老师)

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1、梦飞翔考研工作室www.mfxky.cn客服QQ：81321659电话：13258218644教学与命题研究中心清华大学数学系教授刘坤林俞正光谭泽光葛余博叶俊章纪民赛尔-水木考研辅导班咨询电话：6278004015810102026报名地址：清华科技园B座18层或清华同方科技广场B座503室基础班微积分第1章预备知识函数概念数列极限1.1预备知识1.1.1实数集的性质实数连续性的描述:实数比较公理与确界公理实数比较公理：∀x∈R，在x>x<0,x=0,0又且仅有一款成立。确界公理：任何有界实数集合，必有最小上界和最小下界；但不一定有最大数或最小数。1.1.2绝对值y=x是一

2、种函数表达形式，对任意实数x有−xx<0−xx<0=====yx0x0，或记为yxxx≥0xx>0对任意实数x与a≥0有：≤⇔−≤a=0，xaa≤xa，并且，若则必有x=0。而≥⇔≥≤−xaxa或xa。1.1.3基本不等式（1）绝对值不等式：∀x,y∈−≤,0≤x+x≤2x且R有x≤xx2+≤+2+2≤+22xyxyxy(xy)或（2）三角不等式：∀x,y∈R，有x+y≤x+x−y≥x−y。y且1（3）平均值不等式：∀x,y∈(x2+y2)≥xy2R，有1若x≥0,y≥0，则2(x+y)≥xy有222+≤x+y≤+xy2例如∀x,y∈R，可证明：2(xy)。+=2xyx2+

3、y2+2xy≤22+y)(x222+≤x+y≤+xy22(xy)π（4）对任意实数x∈[0,)有sinx≤x≤tanxa(a),2≥−1⇒1+n>1+nan为正整bb(5)其他不等式:1)a>b>1⇒>−1;2)aa−1刘坤林编水木艾迪考研培训网1网址：www.tsinghuatutor.com梦飞翔考研工作室www.mfxky.cn客服QQ：81321659电话：13258218644教学与命题研究中心清华大学数学系教授刘坤林俞正光谭泽光葛余博叶俊章纪民赛尔-水木考研辅导班咨询电话：6278004015810102026报名地址：清华科技园B座18层或清华同方科技广场B座

4、503室m+数；3）n>m即k>0有<。对nmk+nk对以上不等式在应用中都应广义化，例如∀x,y∈R，有+−−≤++−sin(xy)cos(xy)sin(xy)cos(xy)。因为sin(x+y)与cos(x-y)均为实数，由不等式（4）即有本题不等式。又如∀x,y∈R可证2+≤x+y≤+222xy明：2(xy)。2+=x2+y2+2xy≤2(x2+y)，所以得到因为xy222+≤x+y≤+xy22(xy)1.1.4邻域与区间=xxxδδ定义1.1邻域数轴上的点x0的δ邻域是指点集N(x0,δ){−<,>0}。0邻域内的点是由不等式x0−δ

5、。去心邻域数轴上的点x0的δ去心邻域是指点集N=x000(x0,δ){,}。去心邻域与邻域的区别仅在于不包括x0点。区间:开区间(a,b)={xaa,x∈R}[,+∞)={xx≥a,x∈R}与a，(−∞,+∞)={xx∈R}，(−∞,b)={xx

6、x，按某一确定的规则，若有唯一确定的实数值y与之对应，则称y是x的函数，记为y=f(x)。这里，重要的是函数关系f(·)，而记号x（自变量）与y（因变量）是人为取定的。实数集X应视为使函数关系f(·)有意义的全体实数构成的集合，称为f(·)的定义域；而对一切由f(·)确定的全体实数构成的集合Y，则称之为f(·)的值域。函数关系f(·)有时也记为f:X→Y,X⊆R，或f:X→R,X⊆R。刘坤林编水木艾迪考研培训网2网址：www.tsinghuatutor.com梦飞翔考研工作室www.mfxky.cn客服QQ：81321659电话：13258218644教学与命题研究中心清华

7、大学数学系教授刘坤林俞正光谭泽光葛余博叶俊章纪民赛尔-水木考研辅导班咨询电话：6278004015810102026报名地址：清华科技园B座18层或清华同方科技广场B座503室在微积分这门课程里，对一个函数的表达，除了用代数表达式及图表以外，还会有许多重要的表达方式，比如，一个函数关系可以由方程（隐函数）、（含参数）极限、微分方程、积分、级数等手段来表达。1.2.1函数的初等性质掌握函数的初等性质对微积分的学习至关重要。函数的初等性质包括以下几个方面。(1)增减性（单调性）定义1.3设函数y=f(x)定义域为∀x1