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《力学中的数学方法-积分变换-3》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、4.拉氏变换的性质为方便起见,假定在这些性质中,凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件,并且把这些函数的增长指数都统一地取为c.在证明性质时不再重述这些条件1).线性性质若a、b是常数，且L[ftii()]==Fsi()(1,2)则有L[aft12()+bft()]=+aFs12()bFs(),−1L[]aFs()+=+bFs()aft()bft()1212此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出.12).微分性质L[()]ftF=()sL[()]ftsFsf′=()(0)−证明:根据分部积分公式和拉氏变换公式+∞+∞−−ststL[()]ft′′==∫∫ft()edted()ft
2、00+∞+∞−sts−t=−e(ft)∫ft()de00+∞−st=−f(0)+s∫ft()edts=L[()]ft−f(0)0L[()]f′ts=F()sf−>(0)(Re()sc)2推论LL[''()]ftsftf=['()]'(0)−=ss{[(Lft)](−−f0)}'f(0)2=−sfL[()]tsff(0)−'(0)()nnn−−1n2(1)n−L⎡⎤fts()=−−−Fssfsf()(0)′(0)?−f(0)⎣⎦()ns=>1,2,?()Rec(n−1)特别当ff(00)=′()==?f(0)=0时(n)nL⎡⎤f(ts)=F(s)⎣⎦此性质为把f(t)的微分方程转化为F(s)
3、的代数方程提供了可能.3象函数的微分性质:F′()st=L[−),则⎡⎤tFs()Lftdt()=>()Resmax(0,)c⎣⎢⎥∫0⎦sttt1L{}ddttf?(tt)d=F()s∫∫∫%(((&(((000'snn次t证设h(t)=∫f(t)dth′(t)=f(t),且h(0)=00L[h′(
4、t)]=sL[h(t)]−h(0)=sL[h(t)]⎡t⎤11L⎢⎣∫0f(t)dt⎥⎦=sL[]f(t)=sF(s)重复应用上式,就可得到第二个关系式54).位移性质若则L[ft()]=Fst()()<=0,ft()0有atL⎡⎤⎣⎦eft()=Fsa[−−](Re(sac)>)证根据拉氏变换式,有+∞atat−stL[ef(t)]=∫ef(t)edt0+∞−(s−a)t=∫f(t)edt0atL⎡⎤⎣⎦eft()=Fsa[−−](Re(sac)>)65).平移性(延迟性)L[ft()]=Fst()(<=0,ft()0)−ssτ−τLL[f()tef−=τ][(t)]=eF(ss)R(e>
5、c)证明:+∞−stL[(ftf−=ττ)]∫(tt−)ed0τ−−st+∞st=−+−∫∫f()edttττf()edtt0τ00(tf<,(t)=0)令tu−==+τ,,tutuτd=d+∞+∞上式==∫∫f()euuf−+su()ττde−s()edu−suu00=>e(−sτFs)(Re(sc))75.初值定理与终值定理1)初值定理若且L[()]ft=Fs(),lim()sFs存在s→∞⎧lim()ft=limsFs()⎪ts→→0∞⎨或写为fs(0)=limF()s⎪⎩s→∞8简略证明:根据拉氏变换的微分性质,有L[()]ftsFsf′=()(0)−两边同时将s趋向于实的正无穷大+
6、∞−st左边=limL[f′′()]tf=lim∫()edttRe()ss→+∞Re()→+∞0利用拉氏存在定理的证明知积分在收敛域上一致收敛，积分号和极限号可以交换+∞−st左边=∫ft′()limedt=00Re()s→+∞右边=limsFs()−=f(0)左边=0Re()s→∞ff(0)=lim()t=limsF()sts→→0∞9上述定理表明f(t)在t→0时的数值(稳定值),可以通过f(t)的拉氏变换乘以s取s→∞时的极限值而得到,它建立了函数f(t)初值与函数sF(s)在∞的值之间的关系.10(2)终值定理若L[()]ft=≥Fs(),且sFs()Re()0在s的区域解析(sFs
7、()的所有奇点都在平面的左半部)slimft()=limsFs()⎫ts→+∞→0⎪⎬或写为fs()l+∞=im()Fs⎪⎭s→011证明:根据拉氏变换的微分性质L[()]ftsFsf′=()(0)−两边取s→0的极限+∞−st左边=limL[()]limf′′tf=∫()edtts→0s→00+∞+∞==∫0f′()dttft()0=lim()ftf−(0)t→∞lim()ftf−(0)=−右边=limsF
