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《2002-2003学年第一学期高等数学(b)ⅱ考试试卷(a)答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2002-2003学年第一学期高等数学（B）Ⅱ考试试卷（A卷）答案北方交通大学2002-2003学年第一学期高等数学B（Ⅱ）考试（A卷）试卷答案一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中．x∂z1．设z=lntan，则=________________________．y∂y解：x由z=lntan，y∂z12x⎛x⎞xx2x2x2x得=⋅sec⋅⎜−⎟=−cotsec=−cscyx⎜2⎟22∂tany⎝y⎠yyyyyy2x2x应填：−csc．2yy23x222．将二次积分∫∫dxf(x+y)dy化为在极坐标形式的二次积分，有0x23x(
2、22)∫∫dxfx+ydy=______________________．0x解：作极坐标变换x=rcosθ,y=rsinθ，ππ则直线y=x()x≥0变为θ=；直线y=3x(x≥0)变为θ=；直线x=2()y≥0变为432=rcosθ，或者r=2secθ．因此，所求积分变为π23x32secθ22∫∫dxf(x+y)dy=∫∫dθf()rrdr．0xπ04π32secθ应填：∫∫dθf()rrdr．π04dddddxy23．向量场A=ei+cos()xyj+cos(xz)k的散度divA=________________．解：ddddxy2由向量场A=ei+cos()xy
3、j+cos()xzk，得第1页共10页2002-2003学年第一学期高等数学（B）Ⅱ考试试卷（A卷）答案xy2P()x,y,z=e，Q()x,y,z=cos(xy)，R(x,y,z)=cos(xz)．∂Pxy∂Q∂R2所以，=ye，=−xsin()xy，=−2xzsin(xz)∂x∂x∂xd∂P∂Q∂Rxy2因此，divA=++=ye−xsin()xy−2xzsin(xz)∂x∂x∂xxy2应填：ye−xsin()xy−2xzsin(xz)．4．将函数f()x=x+1()0≤x≤π展成正弦级数，则b=_____________．2解：ππ22b=f()xsin2xdx=()
4、x+1sin2xdx=−12∫∫ππ00应填：−1．5．微分方程y′′−2y′+5y=0的通解为_____________________________．解：2所给微分方程的特征方程为r−2r+5=0，其根r=1±2i1,2x是一对共轭复数根，因此所求通解为y=e(Ccos2x+Csin2x)．12x应填：e()Ccos2x+Csin2x．12二．选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效．22∂f∂f21．设函数f()x,y满足方程=，以及条件f(x,2x)=x，f′()x
5、,2x=x，则22x∂x∂yf′′()x,2x=xx4455()A．−x；()B．x；(C)．−x；(D)．x．3333【】解：由f()x,2x=x，两端对x求导，得f′()()x,2x+2f′x,2x=1xy22再由f′()x,2x=x，代入上式，得x+2f′(x,2x)=1，即xy第2页共10页2002-2003学年第一学期高等数学（B）Ⅱ考试试卷（A卷）答案12f′()x,2x=()1−xy2212将f′()x,2x=x与f′()x,2x=()1−x两端同时对x求导，得xy2⎧fxx′′()x,2x+2fxy′′(x,2x)=2x⎨，f′′()()x,2x+2f′′x
6、,2x=−x⎩yxyy22∂f∂f4利用题设=，可解得f′′()x,2x=−x．22xx∂x∂y3应选：()A．22222．设D:x+y≤1,y≥0，D:x+y≤1,x≥0,y≥0，则1()A．∫∫xdxdy=2∫∫xdxdy；(B)．∫∫xydxdy=2∫∫xydxdy；DD1DD1()C．∫∫xdxdy=2∫∫xdxdy；(D)．∫∫(x+y)dxdy=2∫∫(x+y)dxdy．DD1DD1【】解：积分区域D关于y轴对称，并且函数f(x,y)=x是x的奇函数，因此有∫∫xdxdy=2∫∫xdxdy．DD1应选：()C．3．设函数P()x,y与Q()x,y在平面上有界闭区
7、域D上连续且有一阶连续的偏导数，L是D内∂Q∂P任意一条逐段光滑的简单封闭曲线，则≡，(x,y)∈D是∫P(x,y)()dx+Qx,ydy=0的∂x∂yL()A．充分但非必要条件；(B)．必要但非充分条件；()C．充分必要条件；(D)．既非充分条件，也非必要条件．【】解：∂Q∂P由于区域D不一定是单连通区域，因此≡，(x,y)∈D是∫P(x,y)()dx+Qx,ydy=0∂x∂yL∂Q∂P的必要但非充分条件．可以举例有≡，(x,y)∈D，但是∂x∂y∫P()x,ydx+Q(x,y)dy≠0．L第3页共10页2002
