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《2002-2003学年第一学期高等数学(b)ⅱ考试试卷(a)答案》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2002-2003学年第一学期高等数学(B)Ⅱ考试试卷(A卷)答案北方交通大学2002-2003学年第一学期高等数学B(Ⅱ)考试(A卷)试卷答案一.填空题(本题满分15分,共有5道小题,每道小题3分),请将合适的答案填在空中.x∂z1.设z=lntan,则=________________________.y∂y解:x由z=lntan,y∂z12x⎛x⎞xx2x2x2x得=⋅sec⋅⎜−⎟=−cotsec=−cscyx⎜2⎟22∂tany⎝y⎠yyyyyy2x2x应填:−csc.2yy23x222.将二次积分∫∫dxf(x+y)dy化为在极坐标形式的二次积分,有0x23x(
2、22)∫∫dxfx+ydy=______________________.0x解:作极坐标变换x=rcosθ,y=rsinθ,ππ则直线y=x()x≥0变为θ=;直线y=3x(x≥0)变为θ=;直线x=2()y≥0变为432=rcosθ,或者r=2secθ.因此,所求积分变为π23x32secθ22∫∫dxf(x+y)dy=∫∫dθf()rrdr.0xπ04π32secθ应填:∫∫dθf()rrdr.π04dddddxy23.向量场A=ei+cos()xyj+cos(xz)k的散度divA=________________.解:ddddxy2由向量场A=ei+cos()xy
3、j+cos()xzk,得第1页共10页2002-2003学年第一学期高等数学(B)Ⅱ考试试卷(A卷)答案xy2P()x,y,z=e,Q()x,y,z=cos(xy),R(x,y,z)=cos(xz).∂Pxy∂Q∂R2所以,=ye,=−xsin()xy,=−2xzsin(xz)∂x∂x∂xd∂P∂Q∂Rxy2因此,divA=++=ye−xsin()xy−2xzsin(xz)∂x∂x∂xxy2应填:ye−xsin()xy−2xzsin(xz).4.将函数f()x=x+1()0≤x≤π展成正弦级数,则b=_____________.2解:ππ22b=f()xsin2xdx=()
4、x+1sin2xdx=−12∫∫ππ00应填:−1.5.微分方程y′′−2y′+5y=0的通解为_____________________________.解:2所给微分方程的特征方程为r−2r+5=0,其根r=1±2i1,2x是一对共轭复数根,因此所求通解为y=e(Ccos2x+Csin2x).12x应填:e()Ccos2x+Csin2x.12二.选择填空题(本题满分15分,共有5道小题,每道小题3分)。以下每道题有四个答案,其中只有一个答案是正确的,请选出合适的答案填在空中,多选无效.22∂f∂f21.设函数f()x,y满足方程=,以及条件f(x,2x)=x,f′()x
5、,2x=x,则22x∂x∂yf′′()x,2x=xx4455()A.−x;()B.x;(C).−x;(D).x.3333【】解:由f()x,2x=x,两端对x求导,得f′()()x,2x+2f′x,2x=1xy22再由f′()x,2x=x,代入上式,得x+2f′(x,2x)=1,即xy第2页共10页2002-2003学年第一学期高等数学(B)Ⅱ考试试卷(A卷)答案12f′()x,2x=()1−xy2212将f′()x,2x=x与f′()x,2x=()1−x两端同时对x求导,得xy2⎧fxx′′()x,2x+2fxy′′(x,2x)=2x⎨,f′′()()x,2x+2f′′x
6、,2x=−x⎩yxyy22∂f∂f4利用题设=,可解得f′′()x,2x=−x.22xx∂x∂y3应选:()A.22222.设D:x+y≤1,y≥0,D:x+y≤1,x≥0,y≥0,则1()A.∫∫xdxdy=2∫∫xdxdy;(B).∫∫xydxdy=2∫∫xydxdy;DD1DD1()C.∫∫xdxdy=2∫∫xdxdy;(D).∫∫(x+y)dxdy=2∫∫(x+y)dxdy.DD1DD1【】解:积分区域D关于y轴对称,并且函数f(x,y)=x是x的奇函数,因此有∫∫xdxdy=2∫∫xdxdy.DD1应选:()C.3.设函数P()x,y与Q()x,y在平面上有界闭区
7、域D上连续且有一阶连续的偏导数,L是D内∂Q∂P任意一条逐段光滑的简单封闭曲线,则≡,(x,y)∈D是∫P(x,y)()dx+Qx,ydy=0的∂x∂yL()A.充分但非必要条件;(B).必要但非充分条件;()C.充分必要条件;(D).既非充分条件,也非必要条件.【】解:∂Q∂P由于区域D不一定是单连通区域,因此≡,(x,y)∈D是∫P(x,y)()dx+Qx,ydy=0∂x∂yL∂Q∂P的必要但非充分条件.可以举例有≡,(x,y)∈D,但是∂x∂y∫P()x,ydx+Q(x,y)dy≠0.L第3页共10页2002