高等数学(上)练习四参考答案

《高等数学(上)练习四参考答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、高等数学（上）练习四参考答案一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).112(lnx)（1）e（2）y=x−1.（3）f(x)=27222y=(x+)1+C(x+.)1（4）x=−2（5）3二、选择题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）D（2）D（3）D（4）A（5）A三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.x1lim(−)1．求极限x→1x−1lnx.x1xlnx−x+1lim(−)limx→1x−1lnxx→1(x−)1lnx解=-------1分lnxlimx→1x−1+lnx=x-------2分

2、xlnxlim=x→1x−1+xlnx-------1分1+lnx1lim==x→11+lnx+12-------2分⎧x=lnsintdyd2y⎨2.方程⎩y=cost+tsint确定为yx的函数，求dx与dx2.dyy′(t)==tsint,解dxx′(t)----------------------------（3分）2dy(tsint)′==sinttant+tsint.2′dxx(t)---------------------（6分）arctanx∫dx3.4.计算不定积分xx(1+).arctanxxarctan解：∫∫

3、dx=22dx−−−−−−−−−−−分xx(1+)(1+x)=2arctan∫xdarctanx−−−−−−−2分2=arctan（）xC+−−−−−−−−−2分3x∫dx4.计算定积分01+1+x.3x3x1(−1+x)3∫0dx=∫0dx=−∫1(−1+x)dx解1+1+x−x0------------------------（3分）3325=−3+1(+x)2=330--------------------------------------------------------------（6分）（或令1+x=t）四、解答题（

4、本题共4小题，共29分）.2xyy′′−+=56′yxe1．（本题6分）解微分方程.2解：特征方程rr-5+=−−−−−−−−−−601分特征解rr=2,=−−−−−−−−−−3.分11223xx次方程的通解Y=CeC+e.1−−−−−−−分12*2x令分yx=()bxbe+−−−−−−−−−−−1011代入解得bb=−，=−1.012*21x所以yxxe=−(1−)−−−−−−−−−−−1分223xx12x所以所求通解yeC=C分+exxe−(1+).1−−−−1222．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半

5、桶水，设桶的底半径为R，γ水的比重为，计算桶的一端面上所受的压力．解：建立坐标系如图R22Pg=∫24ρxR−xdx−−−−−−−−−分0R2222=−ρgRx∫−d（）Rx−−−−−−−1分023222R=−ρgRx[（−）]分−−−−−−1032ρg3=R−−−−−−−−−−−−−−−−1分3yxb2f()x[,ab]fa()=fb()0=∫af()xdx=13.（本题8分）设在上有连续的导数，，且，b∫xfxfxdx()()′试求a.bb解：∫∫xfxfxdx()()′=xfxdfx()()−−−−−2分aa1b2=∫xdf(

6、)x−−−−−2分2a1b22b=[xf()]x−−f()xdx−2分a∫2a11=0−=−−−−−−−−−−2分224.（本题8分）过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D.(1)(3)求D的面积A;(2)(4)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.x解：(1)设切点的横坐标为0，则曲线yy=lnx在点(x0,lnx0)处的切线方程是11y=lnx+(x−x).00x0----1分DO1ex由该切线过原点知lnx0−1=0，从而x0=e.1y=x.所以该切线的方程为e----1分11yA=

7、∫(e−ey)dy=e−.1平面图形D的面积02----2分1y=x（2）切线e与x轴及直线x=e所围成的三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥体积为12V=πe.13----2分曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e旋转所得的旋转体体积为1y2V=π(e−e)dy2∫0，----1分因此所求旋转体的体积为121y2π2V=V−V=πe−π(e−e)dy=5(e−12e+3).12∫306----1分五、证明题（本题共1小题，共7分）.x1.证明对于任意的实数x，ex≥+1.ξxe2exxx=++11≥+解法一：2xfx

8、ex()=−−1.f(0)=0.解法二：设则------------------------1分xfxe′()=−1.因为------------------------——————1分fx′()0.≥f()xfxf()≥=(0)0.