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1、第38卷第6期力学进展Vol.38No.62008年11月25日ADVANCESINMECHANICSNov.25,2008复杂网络研究的一些统计物理学方法及其背景*何大韧1刘宗华2汪秉宏3;y1扬州大学物理科技学院,扬州2250022华东师范大学理论物理研究所及物理系,上海2000623中国科技大学近代物理系,合肥230026摘要本文介绍近年来复杂网络研究中常用的几种统计物理学方法（平均场理论、主方程、率方程、生成函数）的物理背景、发展历史、观点、思想和方法.回顾了物理学在研究连续相变、自组织临界现象、流行病传播等问题时是如何发展、运用平均场理论的,以及平均
2、场理论的思想、方法在从平衡态向非平衡态研究的延伸过程中的演化过程.本文简介了主方程、率方程、生成函数的相关物理思想和概念.在最后一节介绍了一些运用这些方法研究复杂网络的成果,包括一些最著名以及值得注意的网络演化模型的平均场方法、主方程和率方程方法求解,一些网络统计性质的解析求解,一些网络上物理过程特征描述的解析分析等.关键词复杂网络,统计物理学,平均场近似,生成函数1引言2.1连续相变及其平均场理论平均场理论是伴随对连续相变的研究发展起复杂网络研究热潮是由1998与1999年发表来的,所以从物理角度介绍平均场理论要先介绍的两篇著名论文引起的[1;2].这两篇文
3、章报道许多连续相变.常见的一级相变(例如物质气、液、固实际网络的共同拓扑统计性质,即小世界性"和三态之间的转变)的一个特征是具有两相共存的无标度性".同时,论文作者提出了思想深刻的网临界变化阶段,另一个特征是相变时有一些物理络演化模型,而且运用统计物理学方法从这些模型量会发生突变;而二级相变或所谓连续相变"则解析地得出这些独特规律.这是第1次把统计物理不可能有两相共存,任何物理量也不会发生突变.学引进网络或者图论的研究,因此,与传统的图论相变在驱动参量(常常是温度)达到一个临界值或网络理论相比,可以说当前的复杂网络研究的特时,在物质各处同时突然发生,所以
4、也称为临界征就是统计物理学的介入,所以复杂网络研究的基现象".础知识中应该列入统计物理学.然而,统计物理学博大精深,其基础和前沿的介绍需要若干本学术专著的篇幅.我们在本文中仅能够根据自己的理解,挑选很少几个已经被证明与复杂网络研究密切相关的统计物理学思想、概念和方法,予以简略介绍.介绍的重点在于物理背景、物理思想、以及这些思想提出的历史.关于这些方法在求解网络演化模型中如何运用,史定华教授已经在本期中专文介绍.我们仅在本文最后对这些方法在复杂网络研图1黄铜的无序和有序结构(引自文献[3])究中得到的成果做简单的综述.连续相变的例子有铁磁相变、超导相变、超流2
5、平均场理论发展的物理背景相变、以及合金的有序-无序相变等.我们用黄铜收稿日期:2008-06-30,修回日期:2008-08-21¤国家自然科学基金重点项目(10635040)yE-mail:bhwnag@ustc.edu.cn2力学进展2008年第38卷作为例子来说明合金的有序-无序相变.图1显示可以区分,但相变是同时在很大一个范围内发生了黄铜的有序(右图)和无序(左图)结构(引自文的.在旧相中各处同时出现的新相与旧相互相嵌献[3]).在完全有序状态,铜原子处在立方晶格的套,形成所谓花斑"[3].这就是一种分形.大家知中心(图中黑点),锌原子处在立方晶格的
6、角上(图道,分形的关键特性是显示一种跨越一切尺度的中空心圆).当温度达到临界值(绝对温标742K)构造法则",所以才具有跨越一切尺度的(统计或以上,两种位置突然变成完全等价,达到了左图所严格的)自相似性[7].这说明这种相变中,物质分示的无序状态.20世纪30年代布喇格提出序参子与其近邻的其它分子如何互相作用,结合成什量"来描述这种相变,序参量的定义是么相,主要取决于跨越一切尺度的所有分子之间R¡W的相互作用的总体效果,而每个分子周围环境的»=(1)R+W局部信息",例如晶格常数、晶格结构等对相变的其中R是正确位置的原子数,W是错误位置的原性质并不重要.
7、这也就是物理学家所说的在连续子数.在完全有序状态,W=0,»=1,在临界点相变的临界点,关联长度趋于无穷".因此,在二级以下,W6=0,0<»<1.在临界点以上,W=R,相变(连续相变)中,可以把跨越一切尺度的所有»=0.对于所有的连续相变,都可以定义一个序参分子之间的相互作用的总体效果等价于一个平量,使它在临界点的一边为零,表示相对的无序状均场",不去计算局部的、处处不同的相互作用情态,而在临界点的另一边不为零,表示相对的有序况.这就是平均场方法的核心思想.我们强调,在状态[3»6].序参量成为描述连续相变的最重要参几十年来许多问题的平均场方法应用中,重
8、要的量.正是这个核心思想,具体的方法和
