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1、两个随机过程的两个随机过程的联合统计特性联合统计特性一一..两个随机过程的联合分布两个随机过程的联合分布设有两个随机过程{X(t),t∈T},{Y(t),t∈T}，它们的概率密度分别为fX(x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn)fYm(,yy12,...,ytt;,,...,)12′′′tm11、两个过程的、两个过程的n+mn+m维维联合分布函数联合分布函数Fxxyytttt(,...,;,...,;,...,,,...,)′′XY1111nmnm=≤PXt{()x,...,()Xt≤≤xYt,()′′y,...
2、,()Yt≤y}11nn11mm22、两个过程的、两个过程的n+mn+m维维联合概率密度联合概率密度fxxyytttt(,...,;,...,;,...,,,...,)′′XY1111nmnmnm+∂F(,...,xxyytttt;,...,;,...,,,...,)′′XYnmnm1111=∂∂∂∂xxyy......11nm3、若X(t)与Y(t)对于任意的n和m，都有fxxyytttt(,...,;,...,;,...,,,...,′′)XY1111nmnm=⋅f(,...,xx;,...,)ttfyytt(,...,;
3、,...,′′)Xn11nYmm11或Fxxyytttt(,...,;,...,;,...,,,...,′′)XY1111nmnm=⋅F(,...,xx;,...,)ttFyytt(,...,;,...,′′)Xn11nYm11m则称随机过程X(t)和Y(t)是相互独立的相互独立的。4、若两个过程的任意n+m维联合分布均不随时间平移Δt而变化，则称此两过程为联合严平稳联合严平稳或者或者严平稳相依严平稳相依。fxxyytttt(,...,;,...,;,...,,,...,)′′XY1111nmnm=+f(,...,;,...,
4、;xxyyttttΔ,...,+Δ,tttt′′+Δ,...,+Δ)XY111nmn1m二.二.两个随机过程的互相关和正交两个随机过程的互相关和正交11、互相关函数、互相关函数定义两个随机过程X(t)与Y(t)的互相关函数为∞∞RttEXtYt(,)[()()]==xyfxyttdxdy⋅⋅(,;,)XY1212∫∫XY12−∞−∞式中X(t),Y(t)是过程X(t)与Y(t)在两个时刻t1,12t2的状态。22、协方差函数、协方差函数定义过程X(t)和Y(t)的互协方差函数为C(t,t)=E[(X(t)−m(t))(Y(t)
5、−m(t))]XY121X12Y2∞∞=[(x−m(t)][y−m(t)]f(x,y;t,t)dxdy∫∫X1Y2XY12−∞−∞式中mX(t1),mY(t2)分别是随机变量X(t1),Y(t2)的数学期望。此式也可写成也可写成C(t,t)=R(t,t)−m(t)m(t)XY12XY12X1Y233、两个过程正交、两个过程正交V若两个过程X(t)和Y(t)对任意两个时刻t1，t2都有Rtt(,)0==或Ctt(,)−mtmt()⋅()XY12XY12X1Y2则称X(t)和Y(t)两个过程正交。V若仅在同一时刻t存在存在RttX
6、Y(,)0=则称两个过程X(t)和Y(t)在同一时刻的状态正交。4、两个过程互不相关两个过程互不相关V若两个过程X(t)和Y(t)对任意两个时刻t1，t2都都有Ctt(,)0=或Rttmtmt(,)=()()XY12XY12X1Y2则称X(t)和Y(t)两个过程互不相关两个过程互不相关。V若仅在同一时刻t存在CttXY(,)0=则称两个过程X(t)和Y(t)在同一时刻的状态同一时刻的状态互不相互不相关关。三、两个随机过程联合平稳三、两个随机过程联合平稳11、定义、定义若X(t)、Y(t)为两个平稳随机过程，且它们的互相关函数仅
7、是单变量τ的函数，即R(t,t)=E[X(t)Y(t)]=R(τ)XY1212XY则称过程X(t)和Y(t)为“联合宽平稳”，简称“联合平稳”。2、性质(1)、互相关函数和互协方差函数均不是偶函数互相关函数和互协方差函数均不是偶函数R(τ)=E[X(t)Y(t+τ)]=E[Y(t+τ)X(t)]=R(−τ)XYYXRRXY()τ=YX()−=τττCCXY()YX()−RRXY(0)=YX(0)R(τ)R(τ)YXXY0τ(2)、互相关函数和互协方差函数的取值满足：2⎧⎪RRXY()τ≤⋅X(0)RY(0)⎨222⎪CC()τ
8、≤⋅=(0)C(0)σσ⎩XYXYXY⎧1RR()τ≤+[(0)R(0)]⎪⎪XYXY2⎨⎪()≤+=11[(0)(0)][22+]CCτCσσ⎪⎩XYXYXY22(3)、R()0τ=，∀τ表示两个平稳过程平稳过程正交正交。XY(4)(4)、、RXY(0)=0两个平稳过程所有
