数学物理方法1

《数学物理方法1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第一章复变函数理论基础习题1.1复数1.写出下列复数的实部，虚部，模和辐角，并写出（1）~（5）的指数式和三角式：1i3（1）1i3；（2）；13i（3）2(cosisin)；（4）1；33（5）；（6）iRsinieR(,为实常数)解：下列复数的实部，虚部，模，辐角分别为（1）22xyzx1,3,y2,4Argz2,(0,1,2)kk34i44ze223cos2isin33（2）1322xyzx,,y1,22Argz2,k(0k,1,2)3ize3cosis

2、in33（3）22xyz2cos,2sin,xy2,332Argz2,k(0k,1,2)32i22ze223cos2isin33（4）22xyzx1,0,y1,Argz2,(0,1,2)kkizecosisin（5）22xyzxy0,1,1,Argz2,k(0k,1,2)2ize2cosisin22（6）22xRyRzxcos(sin),sin(sin),y1,Argzarctan(sin)2Rk,(k0,1

3、,2)2.计算下列复数：1i3（1）；（2）(1i)；1i（3）4i；（4）1i；（5）abiab(,为实常数)解：1(iiii1)(1)2(1)i1(iii1)(1)2(2)32(1ii)(1)(1ii)(1)2i22iik(2)(3)将ie2代入，得1ik(2)ie22,0k,1这表明，i有两个不同的根5iiee44,1111ik(2)ik(2)(4)42448441ie(2)2e,k0,1,2,3,这表明，41i有四个个不同的根119117125iiii2,8e

4、eee162,8162,81628161ik(arctanb2)2ik(arctan1b)(5)aibabe22a4abe222a42211bbabcos(arctanki)sin(arctank)22aa3证明下列关系式：（1）***；（zz）zz1212****（2）zzzzzz2Re(z)2Re(z)；12211221（3）zzzz；1212（4）Rezz证明：设：zxiy，zxiy则，111222（1）**（z12z）()x1122iy(xiy)*()xxiyy

5、12()12()xiyxi()y1122**zz12（2）**zzzz()xiyxiy()()xiyxiy()1221112222112(xxyy)12122Re(xi1122yxi)(y)2Re(xi2211yxi)(y)**2Re(zzzz)2Re()1221（3）zz12()xiyx11()2iy2()xxyyixy(yx)1212121222()xxyy(xyyx)121212122222()xyxy()1122zz12（4）22Rezxxyz4.利用棣摩弗公式将cos4

6、和sin4展开成sin和cos的多项式nknin!knk解：cosninsin(cosisin)sincosk0knk!()!24!43ii4!4!22cos4isin4cossincossincos0!4!1!3!2!2!34ii4!344!sincossin3!1!4!0!422422(cos6sincossin)i4cossin(cossin)4224cos4cos6sincossin22sin44cossin(cossin)5、求证：1s

7、in(n)sin22coscos2cos3cosn2sin21coscos(n)22sinsin2sin3sinn2sin2证：利用等比级数求和公式计算nniineikaq1(1)ee(1)分子母同乘（-1）ik111qe11in()ieeiin1e22e111iiieee2222sini211cos(nn)cossin()sin2222i2s