应用随机过程4-更新过程

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1、第4章更新过程4.1更新过程的定义及若干分布4.2更新方程及其应用4.3更新定理4.4Lundberger-Cramer破产论4.5更新过程的推广2010-9-2理学院施三支4.1更新过程的定义及若干分布一、更新过程的定义定义4.1.1设{X,n,2,1}是独立同分布的非负随机变量列，n分布函数为F(x)，F(0)=P{Xn=0}<1，(为避免平凡情形)n1().T,0TX（第,n个事件到达的时间）0nii12().N(t)sup{n:Tt}，（,0(t]更新的次数）n则称{N(t),tT}为一个更新过程。通常称X为N的第n个更n新间隔，或第n

2、个更新的等待时间，称T为第n次更新时刻。n2010-9-2理学院施三支注:Poisson过程是更新过程的特例。二、N(t)的分布及EN(t)的一些性质1、先考虑N(t)的分布(1).N(t)，a.s.即有限时间内最多有有穷次更新；(2).P{N(t)n}F(t)F(t).nn1这里FF*F**F为T的分布。nn事实上，由于N(t)nTnt，所以P{N(t)n}P{N(t)n}P{N(t)n}1P{Tt}P{Tt}nn1nn1P{Xit}P{Xit}i1i12010-9-2理学院施三支2、EN(t)的性

3、质记M(t)=EN(t),则称之为更新函数。定理4.1.1M(t)Fn(t)n1定理4.1.2M(t)是t的不减函数，且对0t,M(t)。例4.1.1考虑一个时间离散的更新过程{N,j,2,1}，在每个j时点独力地做贝努力实验，设成功的概率为p，失败的概率为q=1-p，以试验成功作为事件(更新)，求此过程的更新函数。2010-9-2理学院施三支4.2更新方程及其应用一、更新方程如果更新函数M(t)的导数存在，记为m(t)，称为更新密度m(t)f(t,)这里f(t)是F(t)的密度。nnnn1定理4.2.1M(t)和m(t)分别满足下

4、面的积分方程tM(t)F(t)M(ts)dF(s)0tm(t)f(t)m(ts)f(s)ds0其中f(t)F(t)。t定义4.2.1称积分方程K(t)H(t)K(ts)dF(s)为更新方程0其中H(t)，F(t)为已知，且当t0时，H(t)F(t)0。当H(t)有上界时，称之为适定的。2010-9-2理学院施三支t定理4.2.2设更新方程K(t)H(t)K(ts)dF(s)中H(t)为0有界函数，则方程存在唯一的有界区间内的解tK(t)H(t)H(ts)dM(s)0其中M(t)Fn(t)是分布函数F(t)的

5、更新函数。n1例4.2.1（Wald等式）设E(X)，i,2,1，证明：iE[T]E[XXX]E(X)E(N(t))1N(t)112N(t)11二*、更新方程在人口学中的一个应用设B(t)为t时刻女婴的出生率，已知过去的B(t)，t0，要预测未来的B(t)，t0。2010-9-2理学院施三支4.3更新定理强度为的Poisson过程{N(t),t}0的时间间隔{Xn}是参数为的指数分布，其更新函数M(t)E[N(t)]t，于是M(t)1tE(X)n定理4.3.1(Feller初等更新定理)M(t)11记E(X)

6、，则(t),若，0nt定义4.3.1(格点分布)若存在d0，使得P{Xnd}1，称随机变量X服从n0格点分布，称满足上述条件的最大的d为此格点的周期。2010-9-2理学院施三支定理4.3.2(Blackwell更新定理)记E(X)，n(1).若F不是格点的，则对一切a0，当t时aM(ta)M(t)(2).若F是格点的，周期为d，则当n时dP{在nd处发生更新}注：Feller初等更新定理是Blackwell更新定理的特殊情形。2010-9-2理学院施三支定理4.3.3(关键更新定理)记E(X)，设函数

7、h(t),t,0[]，满足n(1).h(t)非负不增；(2).h(t)dt。H(t)是更新方程0tH(t)h(t)h(tx)dF(x)0的解，那么(1).若F不是格点的，1h(x)dx,limH(t)0t,0(2).若F是格点的，对于0cddh(cnd,)limH(cnd)n0n,02010-9-2理学院施三支例4.3.1(剩余寿命与年龄的极限分布)以rt)(Tt表示时刻t的剩余寿命，即从t开始到下N(t)1次更新的时间，s(t)tT为t时刻的年龄。求r(

8、t)和s(t)的N(t)