电磁学_ch06 在物质中的磁场

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1、電磁學導讀Chap.6在物質中的磁場Chap.6在物質中的磁場§6-1：Magnetization（磁化強度M=單位體積的磁偶極矩）(1)作用在磁偶極上的轉矩與力:(a)均勻磁場B作用在長方形電流迴路上的轉矩N=m×B解答：參考圖6-1，讓迴路中心位在坐標原點，並朝y軸傾斜一θ角（距z軸）；且B指向＋z軸。（圖6-1）（圖6-2）因作用在傾斜邊（slopingsides）的兩作用力相互抵消（因位在同一平面上，並不產生轉矩），只有作用在橫邊（horizontalsides）上的兩力不僅大小相同（同為F=IbB），方向相反，且不在同一平面上，所

2、以構成一對力偶，對迴路產生作用轉矩N為N=(aFsinθ)xˆ………（參考圖6-2）=(IabBsinθ)xˆ=(mBsinθ)xˆ=m×B…………（與電偶極在E中所受轉矩N=P×E相似）<問題6.2>：試由式（5.16），證明在均勻磁場B中的任一穩定電流分佈所受轉矩為m×B。解答：由穩定電流導線所受磁力dF=Idl×B，可得轉矩dN為dN=r×dF=Ir×(dl×B)利用（問題1.6）A×(B×C)+B×(C×A)+C×(A×B)=0，得r×(dl×B)+dl×(B×r)+B×(r×dl)=0……………………○1又因d[r×(r×B)]=

3、dr×(r×B)+r×(dr×B)………（因為B為均勻）=dl×(r×B)+r×(dl×B)………（令dr≡dl）得dl×(B×r)=r×(dl×B)−d[r×(r×B)]…………………○2所以，合併○1與○2式，得2r×(dl×B)=d[r×(r×B)]−B×(r×dl)I因此，轉矩dN={d[r×(r×B)]−B×(r×dl)}；2I所以N={∫d[r×(r×B)]−∫B×(r×dl)}=−B×Ia=−B×m=m×B得證。2<問題6.4>：試證明在磁場B中一磁偶矩m的無限小迴路（infinitesimalloop）所受磁力F為F=∇(m

4、⋅B)-71-東海大學物理系解答：若磁偶極（magneticdipole–即電流迴路）為一邊長ε的無限小正方形，且選擇坐標軸如圖6-3所示，則整個迴路的受力F為（圖6-3）F=I∫[yˆdy×B(0,y,0)+zˆdz×B(0,ε,z)−yˆdy×B(0,y,ε)−zˆdz×B(0,0,z)]=I∫{−yˆdy×[B(0,y,ε)−B(0,y,0)]+zˆdz×[B(0,ε,z)−B(0,0,z)]}∂B∂B=I∫{−yˆdy×ε+zˆdz×ε}……（利用泰勒級數展開式）∂z∂y(0,y,0)(0,0,z)2∂B∂B=Iε[zˆ×−yˆ×]

5、∂y∂z∂B∂B∂B∂B………（因∫dy≈ε及∫dz≈ε）∂z∂z∂y∂y(0,y,0)(0,0,0)(0,0,z)(0,0,0)xˆyˆzˆxˆyˆzˆ=m[001−010]∂B∂B∂B∂B∂B∂Bxyzxyz∂y∂y∂y∂z∂z∂z∂B∂B∂B∂Bxyzx=m[(yˆ−xˆ)−(xˆ−zˆ)]∂y∂y∂z∂z∂B∂B∂B∂B∂B∂Bxxxxyz=m(xˆ+yˆ+zˆ)……（因∇⋅B=0，得++=0）…○1∂x∂y∂z∂x∂y∂z但因m⋅B=mB………（因m=xˆm）x∂B∂B∂Bxxx所以∇(m⋅B)=m∇(B)=m[xˆ+yˆ+zˆ]

6、……………………○2x∂x∂y∂z因此，由○1、○2兩式，得證F=∇(m⋅B)(2)作用在原子軌道上的磁場效應：如圖6-4，電荷（−e）的電子在半徑R的軌道上，以速率v繞電荷（+e）的原子核作圓周運動。今若有一垂直軌道垂直平面的均勻磁場B作用，則電子速率增為v（大於原速率v），其所受合力滿足下式：（圖6-4）22221ev1ev+evB=m（向心力）……（原向心力=m）2e2e4πεRR4πεRR00或寫為-72-電磁學導讀Chap.6在物質中的磁場me22evB=(v−v)Rme=(v+v)(v−v)……（若Δv=v−v很小，則v+v=2

7、v−Δv≈2v）Rme≈2vΔvR因此，解上式可得電子速率的增加量Δv為eRBΔv=2me又因電子以原速率v繞轉軌道時，所構造而成的穩定電流I為eeevI===T2πR2πRv所以原磁偶極矩大小m為1m=IA=evR2（圖6-5）或原磁偶極矩m為1m=m(−zˆ)=−(evR)zˆ……（見圖6-5）2因此，在均勻磁場B作用下，所產生的磁偶極矩變化量Δm為22221eReRΔm=−e(Δv)Rzˆ=−()Bzˆ=−()Β24m4mee<討論>：若電子反向繞轉，則在磁場Β作用下，將導致電子速率減慢，所產生的磁偶極矩變化量依然與B反向，見圖6-6

8、。在磁場中一對反向繞轉原子核的電子，可用來說明反磁性（diamagnetism）的機制（mechanism）：所獲得的少量額外磁偶極矩（2Δm）與作用磁場B反平行。（圖6-6）§