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1、第卷第欺数学研究与评论。。人年月万评《点集拓扑学基础》王国俊赵东升陕西师范大学数学系,,最近我们读了吴东兴先生著的《点集拓扑学基础下称《基础》一书有几点不成熟,。的意见愿在此提出和昊先生商榷、一关于新体系问题,,,众所周知点集拓扑学从产生到现在经过了很长的发展过程数学家们的辛勤劳动巳,“经使它成为一门成熟的数学分支所以当我们看到作者在《基础》一书的前言里声称本,,书建立新体系试图使逻辑严格性与直观明显性结合起来尤其注意从马克思主义认识论”,,。的角度进行阐述不由得就对本书产生了极大的兴趣很想从中学得一些新东西然而。“”看下去的结果却令人大失所望我们
2、发现作者的新体系不过是把若干经科学实践定型,,的重要概念的名称进行了更换而这种更换本身在理论上毫无深意在应用上只会引起混。乱。。,拓扑的定义这是一个贯穿于全书始终的最重要的概念在《基础》一书里拓扑“,,,人任的概念是由下述定义给出的定义设是任一个集合而了是的任一,子集族当且仅当〔〕,人〔〔〕对于任意,几〔,‘,几〔,,‘几如果〔自则存在使任,,,,,与了一起组成一拓扑空间记为了称为以为基集以了为拓扑结构的拓扑”,,空间因为紧接着在例例和例中作者又把满足条件〔」和〔」的集族称为,“”“”拓扑可见作者是把上述定义中所说的拓扑结构与拓扑不加区别的我们知,
3、,,“”“”。道按照通常意义满足条件〔」〔幻的集族叫拓扑基而不叫拓扑这样给出“”,拓扑的定义是《基础》一书新体系中主要之点当然如果这样改换一下名词确实能,,,。,使处理问题变得简洁明燎更能刻划问题本质那么这样做也未尝不可然而事实却。远非如此,,,首先我们认为这样做会引起很大混乱特别是对于初学者从本书所涉及的内容看。,。也只能供初学用到目前为止绝大多数的点集拓扑学的书都把开集的全体叫拓扑这年月。日收到数学研究与评论年,,。,是经过多年来不断摸索反复改进才抽象出来的一个简洁明燎的定义当然这并不排,,,除可以用其它方法来讲拓扑空间比如用闭包公理的方法邻域
4、系的方法和用收敛类定,“”“”义拓扑的方法等等然而在已经区分得明明白白的拓扑与拓扑基这两个概念之,间轻率地用后者顶替前者恐怕会把初学者引人五里雾中如果有一个作者在其代数书中“”“”,,硬把群叫做环那么读了这种书的学生和其它人就没有共同语言无法交流了,,,事实上不用说初学者从《基础》一书的几处证明中可以看出连作者自己都被这个“”,新体系搞乱了如《基础》一书的页定义下面的,’拓扑空间的每一个基”“”,本邻域都是开集本来按照新体系这是定义中规定了的而作者却莫名其妙地证明了。“”,好几行这不正说明作者本人被自己的新体系搞糊涂了吗类似的情况还有如定理的证明等
5、,“”,应该指出在给出上述拓扑的定义之后在页作者又给出了一个拓扑结构的定,“”,义即通常用开集方式所引人的拓扑定义虽然作者强调它们的本质是一样的但由,,于这两种拓扑结构定义是不等价的而科学中每个概念的含义应该是唯一确定的是不能含糊其词的。不同的对象冠以同一个名词也只会引起混乱,。,其实把拓扑基叫拓扑还有更大的弊病比如在讲到第二可数公理时就遇到了麻。“”,“”烦我们间如果一个拓扑具有可数基那么按作者定义的与之等价的其它拓扑,是否也有可数基呢虽然答案是肯定的但这是需要证明的比如口〕中就证明了这一事,,,实至少比本书中许多加以证明了的事实之论证更不明显但
6、作者似乎没有意识到《基,“础》一书的关于第二可数公理的定义是隐藏着这个向题只是轻描淡写的说了一句显,”。然可数基的存在是拓扑不变的,,。,“这里我们指出用拓扑基代替拓扑确对某些定理的陈述可以简化几个字如为,”。使是紧的当且仅当从的每个由拓扑基中的开集组成的覆盖中能选出有限子复盖,,但这种简化没有什么实际收益而且就这个例子而言对可数紧性就不能做如上变通所“”,,巳以归根结底还是离不开真正的拓扑全体开集之族这一概念事实上如上面,《基础》一书不得不在第页上重—新定义拓扑。提及的。,拓扑的等价性拓扑的等价性是拓扑中最基本的概念本来也是容易说明白的,,但书中
7、却费了很大的篇幅讨论这个问题而最后还是没说清楚在书的页作者指出“,,,因此我们要比较两个拓扑结构必须比较它们确定极限点的效果才不致被现象所迷”。惑然而接下去作者并没有按照自己的这种想法去作在拓扑的等价性定义第页及。“后来的一些结果中丝毫未涉及到极限点只是到最后才单方面的证明了如果两拓扑结构,”,了与了等价则它们确定极限点的效果完全相同而反过来若两个拓扑确定极限点,,,“的效果完全相同它们是否等价作者并未提及而到了第页又突然出现在同一个集合,,,”上的两个拓扑了及了当它们确定极限点的效果完全相同时称它们为拓扑等价,,这样继第页的拓扑等价的定义之后作者
8、在此又给出了一个拓扑等价的定义如我们,,所指出的书中并未证明这两个定义的一致性那么人们又要问了到底该把什么叫做拓,扑等价呢
