数理统计4.3new

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1、中心极限定理的研究背景：：：长期观察表明，，，如果一个量是由大量的相互，如果一个量是由大量的相互独立的随机因素的影响造成的，，，而每一个个别因，而每一个个别因素在总影响中所起的作用都很微小，，，则这种量通，则这种量通常都服从或近似服从正态分布。。。这个结论的理论。这个结论的理论依据就是中心极限定理。。。概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。。。§§§4.3中心极限定理独立随机变量和设设设{}xn为独立随机变量序列，，，记其和为，记其和为nhn=∑xii=1
讨论独立随机变量和的

2、的的极限分布的极限分布,
指出极限分布为正态分布.1独立同分布下的中心极限定理定理4.10林德贝格—勒维中心极限定理设设设xx,,L为独立同分布随机变量序列，，，数学，数学12期望为a,方差为ssss2>0，，，则当，则当n充分大时，，，有，有有有n∑xk-nat21x-k=12=F()xlimP£x=∫edtn®¥n2-¥sp定理的应用：：：对于独立的随机变量序列{xn}，，，不管，不管x(n=1,2,L)服从什么分布，，，只要它们是同分布，只要它们是同分布，，，n且有有限的数学期望和方差，

3、，，那么，那么，，，当，当当当n充分大时，，，这，这这这nx2些随机变量之和∑i近似地服从正态分布Nnan(,s)i=1应用之例:正态随机数的产生；；；误差分析；误差分析2例例例在某次数值计算的加法运算中，，，要求把每个加数取为，要求把每个加数取为最接近于它的整数来计算。。。设所有的取整误差是相互独。设所有的取整误差是相互独立的随机变量，，，并且都在区间，并且都在区间[-0.5，，，0.5]上服从均匀分布布布，布，，，求求求求300个数相加时误差总和绝对值小于10的概率。。。解解解设第i个加数的取整误差为Xi（（（i=1

4、,2,………,300)，，，则，则则则Xi服服服从从从[-0.5，，，0.5]上的均匀分布，，，且，且且且21EX(i)=0s(Xi)=i=1,2,L,30012由于n=300相当大，，，由林德贝格，由林德贝格-勒维中心极限定理：：：300300∑Xi近似服从N(0,)即即即N(0,25)i=112所求概率300300P(

5、∑Xi

6、10)<=P(10-<∑Xi<10)i=1i=1300∑Xi-0-100-100-=

7、P2225=F2(2)1-=´20.97721-=0.95443例例例一部件包括100部分，，，每部分的长度是一个随机变，每部分的长度是一个随机变量量量，量，，，相互独立相互独立，，，且具有同一分布，且具有同一分布。。。其数学期望是。其数学期望是1mm，，，标准差是0.1mm，，，规定总长度为，规定总长度为100±±±1mm时产品合格格格，格，，，试求产品合格的概率试求产品合格的概率。。。解解解设部件的总长度为X，，，每部分的长度为，每部分的长度为Xi（（（i=1,2,………,10)，，，则，则则则100EX

8、(i)1=s(Xi)=0.1X=∑Xii=1由定理4.10可知：：：X近似地服从正态分布2N(1001,1000.1´´)即即即N(100,1)续解则产品合格的概率为P{99£X£101}101100-99100-»F-F11=F2(1)-1=´20.84131-=0.68264二项分布的正态近似定理4.9棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理设设设mmmmn为服从二项分布b(n,p)的随机变量，，，则当，则当n充分大时，，，有，有有有2tmn-np1x-limP£x=∫edt2=F()xn®¥

9、npq2p-¥注意：：：这是林德贝格：这是林德贝格—勒维中心极限定理的特例.此定理表明：：：二项分布的极限分布是正态分布：二项分布的极限分布是正态分布定理的应用：：：若随机变量：若随机变量mn~(,)bnp，，，在求解概率，在求解概率pa(

10、nnpqnpq5棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理应用有三大类：：：i)已知n和和和x，，，求概率，求概率；；；ii)已知n和概率，，，求，求求求x；；；iii)已知x和概率，，，求，求求求n.例例例100个独立工作的部件组成一个系统，，，每个部，每个部件正常工作的概率为0.9，，，当系统中至少有，当系统中至少有86个部件