兰州大学2007数学分析解答

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1、=²Æ2007êÆ©ÛDavidZhangDeptofMathSunYat-senUniversityNovember17,20071OOO1.11/x(1+x)1/xlimx→0+e):1/x(1+x)1/x1ln(1+x)−1lim=Explimxx→0+ex→0+xx−(1+x)ln(1+x)=Explimx→0+(1+x)x21−(1−ln(1+x))=Explimx→0+2x−ln(1+x)=Explimx→0+2x−1=e21.2s1222n2nlimln1+1+···1+n→∞n2n2n21DavidZhangSunY

2、at-senUniversity2):sn"2#1222n21Xknlimln1+1+···1+=limln1+n→∞n2n2n2n→∞nnk=1Z1=ln(1+x2)dx0Z12212x=xln(1+x)

3、0−2dx01+xπ=ln2+−221.3α1β1lim

4、x

5、sin+

6、y

7、cos(x,y)→(0,0)yx):α1β1α1β1lim

8、x

9、sin+

10、y

11、cos=lim

12、x

13、sin+lim

14、y

15、cos(x,y)→(0,0)yx(x,y)→(0,0)y(x,y)→(0,0)x=0+0=01.4Ze2lnlnxdxexlnx):Ze2Z2ln

16、lnxlntdx=dtexlnx1t(lnt)2=

17、212(ln2)2=21.5I(x+y)dx−(x−y)dy,Ù¥C±x2+y2=a2_.Cx2+y2):IZ2π(x+y)dx−(x−y)dya(cosθ+sinθ)(−asinθ)−a(cosθ−sinθ)(acosθ)=dθCx2+y20a2Z2π=(−1)dθ=−2π0DavidZhangSunYat-senUniversity32X∞1?Ø?êÂñ5,Ù¥p>0,q>0.np(lnn)qn=1):1)p>11/[np(lnn)q]1dlim=lim=09'O{?êÂñ;n→∞1/npn→∞(l

18、nn)q2)p=1Z∞Z∞1dtd=9È©O{3x(lnx)qln3tqa)01?êÂñ;3)p<11/[np(lnx)q]nr−pe(r−p)xr∈(p,1)dlim=lim=lim=+∞9n→∞nrn→∞(lnx)qx→∞xq'O{?êuÑ.eαx5:p<1^4lim=+∞,ù´Ïx→∞xβeαx1(αx)[β]+2α[β]+2>>x(x>1)xβ([β]+2)!xβ([β]+2)!3y²2

19、f(x,y)'ux,yþ´ëY¼ê.1)Þ~`²f(x,y)±Ø´ëY¼ê.2)y²f(x,y)'uxüN,f(x,y)´ëY¼ê.DavidZhangSunYat-senUniversity4y²:1)(xyx2+y2,(x,y)6=(0,0)f(x,y)=0,(x,y)=(0,0)=k.2)∀(x,y)∈R2,dK¿,00a)f(x,y0)3x=x0?ëY,kε∀ε>0,∃δ1>0,s.t.

20、x−x0

21、≤δ1⇒

22、f(x,y0)−f(x0,y0)

23、<2b)f(x0−δ1,y),f(x0+δ1,y)Ñ3y=y0?ëY,kéþã?¿ε,(

24、f(x−δ,y

25、)−f(x−δ,y)

26、<ε∃δ>0,s.t.

27、y−y

28、≤δ⇒010102202ε

29、f(x0+δ1,y)−f(x0+δ1,y0)

30、<2u´é∀(x,y)∈[x0−δ1,x0−δ1]×[y0−δ2,y0+δ2],♣ef(·,y)4O,Kεf(x,y)≤f(x0+δ,y)f(x0−δ1,y0)−>f(x0,y0)−ε2♣ef(·,y)4~,Kεf(x,y)≥f(x0+δ,y)>f(x0+δ1,y0)−>f(x0,y0)−ε2εf(x,y)≤f(x0−δ,y)

31、0,y0)+ε2u´k.5xn+1+xn-x1=a,x2=b,xn+2=,n=1,2,3,···.Á¦limxn.2n→∞):dK¿,11n−11n−1xn+1−xn=−(xn−xn−1)=···=(−)(x2−x1)=(−)(b−a)222u´n+Xp−1n+Xp−111n−1

32、xn+p−xn

33、≤(xk+1−xk)≤(b−a)(2)≤2n−2(b−a)→0(n→∞)k=nk=nDavidZhangSunYat-senUniversity5{xn}´Cauchy,{xn}Âñ,4x.2dk−11xk+1−xk=−(b−a)2Xn