数值计算7new

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1、电力教研室数值计算方法梁海峰第四章插值与曲线拟合4.8曲线拟合在实际中，通常不知道f(x)的解析式，只能用测量的方法测试，得到在各个x处的函数值y，这样yiii就存在一定的误差，且带有随机性。曲线拟合是从给出的一大堆数据中找出规律，即设法构造一条曲线（拟合曲线）反映数据点总的趋势，以消除其局部波动。从图形上看，就是通过给定的数据点，求取一条近似曲线，即曲线拟合。第四章插值与曲线拟合4.8曲线拟合曲线拟合就是从误差尽可能小这一目的出发，寻找一条近似曲线，该曲线不要求必须通过点（x，y）。ii最小二乘法是实现该目标的一种方法。第四

2、章插值与曲线拟合4.8曲线拟合RI11I经测量得到3RI=10.3mA2⎧1I⎪2⎨I2=4.8mA⎪I=15.5mA⎩3第四章插值与曲线拟合4.8曲线拟合显然I+I=15.1≠I不满足KCL定律。123为了确定I和I，使它们最好地拟合这三12个测量结果，设e、e和e为I、I和I准确值123123与测量值之间的误差，由测量结果得出以下方程：第四章插值与曲线拟合4.8曲线拟合⎧I1−10.3=e1⎪⎨I2−4.8=e2⎪I−15.5=e⎩33第四章插值与曲线拟合4.8曲线拟合最小二乘原理：从一组等精度的测量结果中，求得误差e、e

3、和e的平方和为最小的，I、I和I的123123最精确值。n2目标函数：min∑eii=1第四章插值与曲线拟合4.8曲线拟合即通过选择I、I使得122222e1+e2+e3=∑e为最小。对于该问题：222e+e+e123222=(I−10.3)+(I−4.8)+(I+I−15.5)1212=ϕ(I,I)12第四章插值与曲线拟合4.8曲线拟合由求极值方法：⎧∂ϕ=0⎪⎪∂I⎧2(I1−10.3)+2(I1+I2−15.5)=01⇒⎨⎨∂ϕ2(I−4.8)+2(I+I−15.5)=0⎪=0⎩212⎪∂I⎩2第四章插值与曲线拟合4.8

4、曲线拟合解方程得:⎧13I=10⎪130⎨28⎪I=42⎩30此时，∑e2=0.05333为最小第四章插值与曲线拟合4.8曲线拟合二、数据的曲线拟合对于n对实验数据(x,y)i=1,2,L,nii能够找到近似的关系式：y=f(x)，假设f(x)用m次代数多项式表示：第四章插值与曲线拟合4.8曲线拟合即：2my=f(x)=a+ax+ax+L+ax012mmj=∑ajx(m+1

5、L,n代入多项式，得到n个方程：2m⎧a+ax+ax+L+ax−y=e01121m111⎪2m⎪a+ax+ax+L+ax−y=e01222m222⎨⎪M⎪a+ax+ax2+L+axm−y=e⎩01n2nmnnn第四章插值与曲线拟合4.8曲线拟合根据最小二乘原理，对于n对数据，最合适的系数a就是使误差的平方和为最小时的值。jn22m2∑ei=(a0+a1x1+a2x1+Lamx1−y1)i=12m2+(a+ax+ax+Lax−y)01222m22+L2m2+(a+ax+ax+Lax−y)01n2nmnnnmj2=∑[∑ajxi−

6、yi]=F(a0Lam)i=1j=0第四章插值与曲线拟合4.8曲线拟合所以：nnm2j2∑ei=∑[∑ajxi−yi]=F(a0Lam)i=1i=1j=0为使F最小，对a、a…a求偏导数，并等于零，01m得到：nm∂Fjk=2∑[(∑ajxi−yi)xi]=0(k=0,1,Lm)∂aki=1j=0第四章插值与曲线拟合4.8曲线拟合n2∂∑eii=12m=2(a+ax+ax+Lax−y)01121m11∂a02m+2(a+ax+ax+Lax−y)01222m22+L2m+2(a+ax+ax+Lax−y)01n2nmnn2m=2(

7、a0n+a1∑xi+a2∑xi+Lam∑xi−∑yi)第四章插值与曲线拟合4.8曲线拟合n2∂∑eii=12m=2x(a+ax+ax+Lax−y)101121m11∂a12m+2x(a+ax+ax+Lax−y)201222m22+L2m+2x(a+ax+ax+Lax−y)n01n2nmnn23m+1=2(a0∑xi+a1∑xi+a2∑xi+Lam∑xi−∑xiyi)第四章插值与曲线拟合4.8曲线拟合n2∂∑eii=1k2m=2x(a+ax+ax+Lax−y)101121m11∂akk2m+2x(a+ax+ax+Lax−y)20

8、1222m22+Lk2m+2x(a+ax+ax+Lax−y)n01n2nmnnkk+1k+2k+mk=2(a0∑xi+a1∑xi+a2∑xi+Lam∑xi−∑xiyi)第四章插值与曲线拟合4.8曲线拟合nm∂Fjk=2∑[(∑ajxi−yi)xi]=0(k=0,1,Lm)∂a