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《二次剩余函数与正整数模的特征数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第卷第期宜春师专学报,年月兀天二次剩余函数与正整数模的特征数李鹤年江西宜春师专数学与计算机科学系,宜春定义,摘要一个新概念对一切与整数互素的整数而言使成立的最小正整数称为模的特征数证明了大于的整数的标准分解式是二户分⋯⋯时,二,,⋯,,,,,,⋯,鳄模的特征数【洲者⋯鳄〕其中衅是二次剩余函数值关键词欧拉函数杯简化剩余系次剩余二次非剩余分类号首先给出下面的新概念定义假设整数,对一切与互素的整数而言,使同余式兰成立的最小正整数称为模的特征数众所,,,周知著名的欧拉定理假设整数那么对一切与互素的整数而言同余式洲三记成,—,立其中杯是欧拉函数值与定义
2、很相似但欧拉函数值甲一般说来不是模的特征数不过从欧拉定理可以—看出模的特征数是存在的性质若模,,,的特征数是是整数并且对一切与互素的整数而言三,,特别司成立则是欧拉函数杯,,‘,,二证明由带余除法得匆镇于是尹是模的特征数,兀刁时二成立因此兰记时三对一切与互素的整数成立,故时与是模的特征数矛盾这矛盾的产生就证明了只有成立即阂这就证明了证毕,定义是定义在正整数集合上的函数它在正整数上的值是模的任一简化剩余系里全部二次剩余的个数由简化剩余系的定义和同余的性质知道,模的任一简化剩余系里二次剩余的个数是由模唯一决定的因此,定义是有意义的二⋯,,设正整数
3、的标准分解式是洲醋从本文的参考文献【知道当或,一“甲,一”一’,时当时当时二一“一,杯其中杯是欧拉函数由此可见二次剩余函数的下列性质显然成立性质若是二次剩余函数,甲是欧拉函数,则杯,并且时甲收稿日期一一第期李鹤年二次剩余函数与正整数模的特征数定义模的任一简化剩余系里全部二次剩余作成的整数集合称为模的一个二次剩余系性质若,,⋯,,,整数都是模的二次剩余并且关于模它们是两两不同余的,则,,⋯,是模一个二次剩余系,,因为这个整数都是模的二次剩余并且关于模是两两不同余的所以它们一定是模的一个简化剩余系里的全部二次剩余,,⋯,,,⋯,,二,性质若与玩是
4、模的任意两个二次剩余系则⋯三,玩⋯,,因为模任意两个简化剩余系里的数关于模是一对一同余的所以由定义不妨,,,⋯,,认为三浏三玩浏三浏因此相乘得⋯兰场⋯浏定理假设是模的二次剩余,则代三司若是模,””的二次非剩余则宁二浏,,⋯,,,证明设是模的二次剩余系因为是模的二次剩余所以,,⋯,,,都是模的二次剩余而且它们关于模是两两不同余的故由性质知道,,⋯,也是模的二次剩余系再由性质知,⋯三···⋯,,处⋯,处⋯,处⋯浏即三向⋯记其中约去得三,代,浏即二,,,若是模的二次非剩余那未护就是模的二次剩余因此由上面的证明知道宁而二浏成立证毕推论若是任意,,,,
5、式整数是二次剩余函数则扩三浏,,,,因为时是模的二次剩余或二次非剩余两者必居其一所以从定理看来这个推论显然成立,比,,,一般说来杯小得多所以时定理的推论扩二浏优于欧拉定理洲二浏,,,,⋯,⋯定理设正整数的标准分解式是衅才衅最小公倍数〔苗才了二,,二,,⋯,,二二二衅」讨是二次剩余函数特别是时〔帅〕的,,、,在上述条件下若是模的二次剩余则二浏若是模的二次非剩余则宁二浏证,,明若是模的二次剩余那么也是模讨的二次剩余因此由定理知道,,,,⋯,,,⋯衅二浏衅成立于是三浏衅也成立又因为户户衅是两,,,⋯,“两互素的【帅户衅」户馋⋯衅所以兰浏成立,,,若
6、是模的二次非剩余那末宁就是模的二次剩余因此由上面的证明知道扩三浏成立证毕推,,,二,论在定理的假设条件下若是任意整数则扩二浏这个推论显然成立,,,,⋯了,⋯这里镇其中试酵才衅所以时定理的推论舒三仪又优于定理的推论扩心三司,,,,,众所周知对于一个给定的整数来说若整数那么使三浏成立的最小正整数称为关于模的指数特别是关于模的指数是欧拉函数抓宜春师专学报年时,称为模的原根,。,,。,,性质若整数关于模的指数是与日是企整数二兰夕闭则日并·且月二浏,这个性质是常见的这里不给予证明定理假,设正整数是模的特征数是模所有的二次非剩余关于模的指数的最小公倍数,
7、是模,所有的二次剩余关于模的指数的最小公倍数则证明任取一个整数,,若是模的二次非剩余,那么从已知条件可知,,,,三浏成立若是模的二次剩余那么三玩浏并且与场都是模的,,二‘二次非剩余由此可见二浏也成立这就证明了时兰浏成立至,,此由模的特征数的性质知道另一方面,若是模的任意一个二次非剩余,则,二因此由模的特征数的,工心至,定义知道二此由指数的性质可见是模所有的二次非剩余关于模的,指数的公倍数因为是模所有的二次非剩余关于模的指数的最小公倍数所以,综合以上证明的结果这就证明了,,由指数的性质又知道是模所有的二次剩余关于模的指数的公倍数而这些指,二,,
8、二,数的最小公倍数是所以因为上面证明了所以记同理因为对模,,,,,二任意一个二次非剩余来说二成立所以记于是得到其中与都是正整数若,二,则二因为模的二次非剩余关于模的
