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1、第四章 振动第一章质点运动学4-1谐振动l0f一、谐振动及其表达式m1.弹簧振子(谐振子)x−AoAf=−kxd2xd2xk条件:回复力、惯性−kx=m⇒=−x22dtdtm22kdx2θ令ω=2+ωx=olmdtx=Acos(ωt+ϕ)Tm2.单摆(数学摆)of=−mgsinθ≈−mgθmgt22dθdθg−mgθ=ma=mlα=ml⇒=−θt2dt2ldt22gdθ2令ω=+ωθ=Oθ=θcos(ωt+ϕ)2mldt第一章质点运动学3.复摆(物理摆)M=−mgbsinϕ≈−mgbϕobd2ϕd2ϕmgbϕ•c−mgbϕ=J⇒=−ϕ22dtdtJmg22mgbdϕ
2、2令ω=2+ωϕ=OC:刚体重心Jdtϕ=ϕcos(ωt+ϕ)b:重心到转轴垂直距离m二、谐振动的速度和加速度x=Acos(ωt+ϕ)dxυ==−ωAsin(ωt+ϕ)υ=ωAmdt2dx22=ω2a=2=−ωAcos(ωt+ϕ)＝－ωxamAdt第一章质点运动学三、描述谐振动的物理量1.周期T频率ν圆频率ω（描述振动快慢）Acos(ωt+ϕ)=Acos[[ω(t+T)+ϕ]]2π12πωT=2π⇒ω=,ν=,ω==2πνTTTT.ν.ω由振动系统本身结构和性质决定,与初始条件无关k2πm弹簧振子ω=T==2πmωkgl单摆ω=T=2πlgmgbJ复摆ω=T=2πJ
3、mgb第一章质点运动学mg=kx02dxmg−f=mx20dtomfx2dxmmg−k(x+x)=m02dtxmg22dxdxk−kx=m+x=o22dtdtm2kmω=⇒T=2πmk思考：将弹簧振子放在光滑的斜面上，情况怎样？第一章质点运动学并联：两弹簧伸长量相同(x)k2k1k2⇒dx−kx−kx=m122dtmm2dx−(k+k)x=m122dtff122dx−kx=mm2dtmg比较得k=k+k12mmT=2π=2πkk+k12第一章质点运动学串联：轻弹簧串联，受力相同k1x1k⇒xx=x+xk2x122mmf=kx,f=f=kx,f=f=kx222111f
4、ffkkf12=+⇒k=mkkkk+k1212mgmm(k+k)12T=2π=2πkkk12第一章质点运动学k1k2km1mmmT=2π=2πk2kk+k12k1k1mk2k2mmm(k1+k2)T=2π=2πkk1k2思考第一章质点运动学在杆在杆ABAB两端有质量相同的小球两端有质量相同的小球,,它可绕通它可绕通过过ABAB上端并垂直杆长水平轴微小振动上端并垂直杆长水平轴微小振动((不不计杆质量计杆质量).).设设OA=a,OB=b(b>a),OA=a,OB=b(b>a),求振动周求振动周期期..如果计算杆的质量，则周期又为多如果计算杆的质量，则周期又为多少？少？
5、Bg(ba)g(ba)−−Oωω==22aaa++bbbA第一章质点运动学什么是简谐振动？2f=−kxa=－ωx2dx2+ωx=ox=Acos(ωt+ϕ)2dt怎样描述简谐振动？TT、νν、ωωω=2π=2πνν=1TT2.振幅A相位ωt+ϕ初相位第一章质点运动学振动空间范围振动状态t=0时刻的相位x=Aωt+ϕ=O⇒{{(ωt+ϕ)与(x,υ)υ=0πx=0有一一对应关系ωt+ϕ=⇒{{2υ=−ωAπx=0x=Acos(ωt+ϕ)ωt+ϕ=−⇒{{dx2υ=ωAυ==−ωAsin(ωt+ϕ)dtA和ϕ的确定x=Acosϕ初始条件t=o,x=x,υ=υ⇒000υ=−
6、ωAsinϕ02υ02tgϕ=−υ0A=x+()0ωxω{{{{0xυ00及cosϕ=,sinϕ=−α[−ππ,]or[0,2]πAωA第一章质点运动学四、谐振动的旋转矢量表示法M,t矢量转一周即质点沿x轴ω�M(t=0)作一次完全振动—TA0ωtϕ矢量大小振幅Aoxx旋转角速度圆频率ωωt=0时，OM与x夹角初相位ϕ0t时刻，OM与x夹角相位ωt+ϕx=Acos(ωt+ϕ)注意:矢量端点在x轴上的投影点的运动是谐振动π第一章质点运动学x=Acos(ωt−)旋转矢量振动曲线对应关系4xxbb′c2Aaa′c′2－πii′4hd′h′dooTT3TTTt8284ege
7、′g′ff′π2t=0,ωt+ϕ=−,x=Aa→a′42=T+=0=→′t,ωtϕ,xAbb8t=T,ωt+ϕ=π,x=2Ac→c′442=3T+=π=0→′t,ωtϕ,xdd82t=T,ωt+ϕ=3π,x=－2Ae→e′242如何由振动曲线确定旋转矢量图第一章质点运动学xxxxωAAαα0t1.位移---两个矢量位置2.速度方向----唯一确定矢量方向第一章质点运动学相位差、同相、反相(1)对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间.x=Acos(ωt+ϕ)11x=Acos(ωt+ϕ)22∆ϕ=(ωt+ϕ)−(ωt+ϕ)∆ϕ21⇒∆t=t−t=2
